八论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——朱世杰的招差术 倪则均，2015年4月11日。

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1，南北数学的融合与发展。
朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。在朱世杰出生之前的一百多年时间里，我国一直处于南北对峙之中，直到朱世杰30岁那年，由于南宋也被元所灭，整个中国才是再次统一。在此完全隔绝的政治背景之下，那时我国的南北双方，则各自发展出了两种完全不同的数学。
朱世杰年轻时遍读北方算学家著作，李冶的《测圆海镜》一书对他影响很大。后来他还学习了李德载的二元术和刘大鉴的三元术，懂得了如何建立并解出二元、三元的高次方程组。在十三世纪七十年代时，他已经是北方知名的算学家了。公元1279年，元灭南宋，朱世杰终于可以来到南方游学。由此他接结识了不少南方的数学家，接触到了南方的算书，尤其是秦九韶的《数书九章》和杨辉的著作。
“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。”南方的自然气候和人文环境，终于使这位北方的数学家留住了脚步，让他在扬州定居了下来，潜心研究南北数学的融合与发展。大德三年（公元1299年），朱世杰的《算学启蒙》在扬州刊刻。《算学启蒙》分三卷，二十门，259问，由浅入深，循序渐进，从一位数的乘法开始，内容包括了各类乘除法歌诀、各类面积和体积以及算术问题，还有分数运算、垛积法、盈不足术，一直讲到天元术。
大德七年（1303年），朱世杰的代表作《四元玉鉴》也书成付梓。《四元玉鉴》是阐述朱世杰多年研究成果的一部力著。全书共分3卷，24门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题（需设立四个未知数者）有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。卷首列出了易卦三角等四种五幅图，给出了天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例；后三者分别是二元、三元、四元高次方程组的列法及解法。创造四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大贡献，书中另一个重大成就是系统解决高阶等差级数求和问题和高次招差法问题。然而，这样的旷世之作，竟然未被戴震等人收入《四库全书》之内，真是滑天下之大稽！
朱世杰的数学成果代表了宋元以来的最高水平，正是因为他吸取了各种先进的思想，并加以创造性的发展。朱世杰对算理十分重视，认为数学的基础是数学理论。朱世杰的方程理论已经超出了实际中的计算需要，而具有更加纯粹的数学性质，提高了数学的抽象程度和一般化程度。同时，朱世杰的数学成果，也让我们感受到南方数学重实用，重口诀的风气，朱世杰在书中吸纳了一些日用算法、商用算法和通俗歌诀。朱世杰的“我有一壶酒，携着游春走。遇店添一倍，逢友饮一斗。店友经四处，没了壶中酒。借问此壶中，当原多少酒。”可谓脍炙人口，颇有孙武的“荡杯”之风。
2，“逐差法”与“招差术”的不同。
华罗庚将其《从杨辉三角谈起》的第六节称为“逐差法”，实在有些不妥。其实，“逐差法”只是属于一种物理方法，它是降低实验实测数据误差，提高其精确度的一种常用方法，与本节所论述的数学内容，可谓是风马牛不相及。《从杨辉三角谈起》的第六节的数学内容，实际上介绍的是朱世杰的“招差术”，而朱世杰的“招差术”，则是内插法的一个重要内容。朱世杰的“招差术”主要研究的是，如何计算自然数的等幂和——1m+2m +3m +…+nm=？的问题。
应该说朱世杰是在研究杨辉的四隅垛公式——12+22+32+…+n2=n（n+1）（n+1/2）/3时才发现，杨辉的这个四隅垛，实际上是堆积第二系统里的2阶等差级数。然而，堆积第二系统里的各阶等差级数之和，全都必须首先设法将它们转换到，堆积第一系统里的各阶等差级数去作换算。对于自然数的等幂和的问题，朱世杰则认识到首先要解决，对于其通项式nm的分拆的问题。
对于上一节所给出的整值多项式ƒ（x）=akPk（x）+ak-1Pk-1（x）+…+a1P1（x）+a0来说，华罗庚在此节则具体给出了得到其中各系数a0，a1，…，ak的方法。华罗庚确实通过证明得到：ƒ（0）=a0；ƒ（1）－ƒ（0）=a1；ƒ（2）－2ƒ（1）+ƒ（0）=a2；…；ƒ（k）－1Ckƒ（k-1）+2Ckƒ（k-2）－…+（－1）kƒ（0）=ak。对于ƒ（x）=x3，华罗庚通过演算得到：a0=0、a1=1、a2=6、a3=6。并且还更进一步将n3分拆为：n3=a0×1+a1×n+a2×n（n-1）/2+a3×。
然而，对于上面整值多项式ƒ（x）中的P1（x）=n，P2（x）=n（n-1）/2，P3（x）= n（n-1）（n-2）/6，却没有予以证明。如果说朱世杰对于这个问题没有给出证明，那么华罗庚总不能也不给出证明吧！显然，这是一个极为重要的规律，这个规律揭示了当ƒ（x）=xk时，P1（x），P2（x），…，Pk-1（x），Pk（x）则分别是垛积第一系统里的0至k-1阶等差级数，并且它们的项数要依次减1。
其实，华罗庚早在第四节里，就已经给出了全体自然数的三次幂为：13+23+33+…+n3=6（n-2）（n-1）n（n+1）/24+6（n-1）n（n+1）/6+n（n+1）/2=n（n+1）[（n-2）（n-1）+4（n-1）+2]/4=n（n+1）n（n+1）/4=[n（n+1）/2]2=（1+2+3+…+n）2。同样采用的是倒论的方式，同样给人浇了一头雾水。华罗庚在此例的页底还注释说：“求这个和的公式，在我国元代的数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》一书（1303年）中便已发现，比西方最早得出这个公式的德国数学家莱布尼茨要早三百多年”。然而，对于其中的精彩故事，华罗庚却舍不得多花一些笔墨。
3，组合数学的问题。
组合论的研究对象是，具有组合性质的集合，以其元素的个数计算为主要目标。这是一个十分含糊的概念，不象数论、群论、代数学等数学分支那样，具有明确的研究内容。因此，组合论几乎成了整个数学里的不管部，凡是其它数学分支不予关注的东西，都可以作为它的研究的对象。从而使得组合论成了，孕育崭新数学的摇篮。今天的概率论和统计学，就是由组合论所培养出的二支新秀。
其实，在整个数学里，组合与分解、分拆乃至划分之间，实际上是一种相辅相成的关系。如果从运算的角度上来看，分与合则应该属于互为逆运算的关系。因此，组合论根本就不能成为一个独立的数学分支，它只能附属于其它的数学分支。然而，某些数学家偏偏不顾这一客观事实，硬是搞出了一套《组合数学》。
《组合数学》面世不太久远，这是一本以容斥原理，莫比乌斯函数作为理论基础，同时罗列了种种组合运算方法的数学专著。对于《组合数学》来说，首先是它的几大理论支柱之间，未能取得统一，似乎是各占一个山头。其次是各种组合运算方法之间，更没有融合成一个有机整体。所以，《组合数学》实际上犹如一盘散沙。
由于组合论缺乏明确的研究内容，从而使得各种的存在问题，渐近式，近似式乃至同余关系，全都成了它的研究对象。正是因为研究对象过于宽广，所以一直无法建立起一套统一的完整理论。因此从研究对象方面来说，组合论也是一盘散沙。从研究方法方面来说，组合论将客观存在着的具体事物，抽象为难以捉摸的无形性质，然而，却又要去具体的计点，这些无形性质的数量。这种无形的性质，还能数得清吗？
最初的《组合数学》尚承认，它们的源头就是我国古老的“洛书”，然而现在的《组合数学》，似乎已经找不到中国数学的踪迹。最近我查阅了几个版本的《组合数学》，发现它们最后也讲到了，全体自然数的等幂之和的问题，它们给出的公式是：xn=∑A（n，k）nCx+k-1，k=1，2，…，n，其中的A（n，k）称为欧拉数，这是一个类似于“易卦三角”的数表。仔细一看，上述这个公式，我国清代的李善兰也曾给出，那么这个公式到底是谁抄袭了谁呢？
显然，李善兰的这个公式是对于朱世杰“招差术”的发展，根本不可能是抄袭欧拉的。然而，欧拉生前几乎没有研究过全体自然数的等幂之和的问题，所以不可能给出这个全体自然数的等幂之和的公式。因此只有一种情况，那就是西方的这个全体自然数的等幂之和的公式，完全是抄袭李善兰的，只是假借欧拉之名予以掩盖而已，因此，这样的《组合数学》简直就是一个无赖。如果他们真有本事，就应该拿出比李善兰更高明的东西来。我发表在“科学智慧火花”上的“高次纵横图与自然数等幂和”，就是一篇从全新的角度去研究全体自然数的等幂之和的文章，由于这是一个解析公式，所以更为清晰明了，非常简便实用。