从“无穷个无穷小的乘积不一定为无穷小”谈起。

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从“无穷个无穷小的乘积不一定为无穷小”谈起。
一个典型的构造是：
{1,1/2,1/3,...,1/n,...}
{1,2/1,2/2,...,2/(n-1),...}
{1,1,3/1,3/2,...,3/(n-2),...}
...
{1,1,1,...,k,k/2,k/3,...,k/(n-k+1),...} 第k位之前全是1
....
第n列的积为1/n*2/(n-1)*3/(n-2)*...*(n-1)/2*n*1*1*1*......=1，当n趋于无穷时也为1，也就是说，这无穷个无穷小的乘积是1.       
使用同样的方法，我们可以有以下说法：
无穷个正数的和可以为0，构造如下：
(1/2,1/2,1/2,...,1/2,...}
{-1/2,1/4,1/4,1/4,...,1/4,...}
{0,-3/4,1/8,1/8,1/8,...,1/8,...}
...
{0,0,0,...,-(2^(k-1)-1)/2^(k-1),...,1/2^k,....} 第k-1位是-(2^(k-1)-1)/2^(k-1)，前面全是0，后面全是1/2^k。
第n列的和为1/2+1/4+1/8+.....+1/2^n-(2^n-1)/2^n+0+0+0+......=0，当n趋于无穷时也为0.所以1/2+1/4+1/8+........=0
容易验证，对于每个固定的k,当项数n趋于无穷时，lima(k,n)=1/2^k>0，也就是说，和式中的每一项都是正数。.......(2)
使用同样的方法，我们还可以说，无穷个正数的和可以为负数。构造略。
在这里，有人也许会说，在第二个例子中，当n趋于无穷时第n+1项是负数，才使得和为0，但是前面(2)已经证明了每一项都是正数，没有第无穷项。同样的道理，在第一个例子中，当n趋于无穷时第n项是无穷大，但用同样的方法可以证明每一项都是无穷小，不存在第无穷项，否则就不能说每一项都是无穷小。
总之，如果认为第一个例子中每一项都是无穷小，同样的逻辑，就应当认为第二个例子中每一项都是正数。