自然数集合的定义问题

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现行教科书中,使用概括原则给出的N={n|n为自然数}的定义，不恰当。为此，先提出如下定义。
定义4：元素个数为有限自然数，且集合本身不能作为集合元素的集合，叫做正常集合，否则，叫非正常集合。
至于自然数集合的构造法则，根据自然数的标准序列（1），我们可以先提出如下的以正常集合为元素的无穷序列
   {0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}…… （2）
及{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，—，（10n-1）},…… (2’)
这两个以自然数为元素的正常集合的元素个数的数列的极限都是 +∞。
定义5：上述两个以集合为元素的无穷序列中的每一个集合都叫做近似自然数集合。
定义6：上述两个正常集合序列都叫做全能近似自然数集合序列，它们的趋向（或称广义极限）叫做理想自然数集合，它可以被看作是包括所有自然数的理想自然数集合；也称具有被看作包括而且仅包含所有自然数的集合的其它广义极限性质集合为理想自然数集合。依照习惯，这样的理想集合可以记作{0，1，2，……，n,n+1,……}或简写为N。
定义7：理想自然数集合元素个数定义为：构造理想自然数集合的正常集合的元素个数数列的极限+∞。由此可知：理想自然数集合的元素个数为非正常数 ，因此，理想自然数集合N，可以叫做无穷集合；但无穷不能被看作定数；不能提出无穷基数（阿里夫0） 表示它的元素个数（这样就可以消除连续统假设的大难题）；根据定义4，自然数集合不是正常集合。
公理4：广义极限性质的理想自然数集合具有人们无法构造完毕的性质，实际应用时，常常需要做出元素个数足够多的自然数集合付诸应用。
根据定义4以及理想自然数集合的构造性叙述，可知：无穷多正常集合序列的广义极限性质的无穷集合是非正常集合，这就消除了罗素悖论，不需要为消除罗素悖伦建立ZFC形式公理集合论。至于Peano 的其它公理，以及自然数的运算法则和其它现行教科书中叙述的性质（如：阿基米德性质）都是成立的；在这里,就不赘述了。虽然笔者不同意康托儿的“无穷集合是完成了的实无穷意义的集合”、“数学必须肯定实无穷”的观点，但提出了“它是达不到的无穷序列极限性质的非正常无穷集合”的论述，具有保护无穷序列及其极限理论的作用。