趣味几何－平面上一点与正三角形(答案）

ccmmjj · 发表于 2015-4-14 20:25

本帖最后由 ccmmjj 于 2015-4-15 15:07 编辑

如shuxuestar 所用的思路，我将解法整理一下。坐标方法的复杂性，对计算功力较差的人，是一种考验。我先介绍一下这个解法的中心思想：PA，PB，PC三线共P点，不利于分析。于是将PB变换到P’C，于是以P为圆心PA为半径的圆，以C为圆心CP’为半径的圆如果有公共点，则由P、C和这个公共点三点即可使用三角不等式推证结果。于是题目就变成了证明两圆相交或相切，这就是解几的计算技巧了。没有所谓的判别式，等号成立的条件是当a^2+b^2－(2√3/3)b－1＝0时。（图形上是P点在黄圆G上）以下是解法：

ccmmjj · 发表于 2015-4-14 20:30

因为shuxuestar给出了思路，所以先贴出此答案。纯几何解答，再等几天，欲做从速。

denglongshan · 发表于 2015-4-15 12:36

托勒密不等式的特例

ccmmjj · 发表于 2015-4-15 23:10

denglongshan说得不错，可以使用托勒密不等式证明，但还是要进行一些处理。

ccmmjj · 发表于 2015-4-15 23:18

为了网友看帖方便，我将广义托勒密定理的证明粘贴于此。其实本题也可不用这个定理做纯几何证明的。

ataorj · 发表于 2015-4-16 01:11

很简单的几何题[我对于本题中等号的兴趣不大].我开始时想过"三角形两边和大于第三边",但是就是没试.另外我现在才看到一楼第二个图,当时疏忽而没见.

wangyangkee · 发表于 2015-4-16 09:28

本帖最后由 wangyangkee 于 2015-4-16 02:44 编辑

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ccmmjj · 发表于 2015-4-16 09:42

ataorj 发表于 2015-4-15 17:11
很简单的几何题[我对于本题中等号的兴趣不大].我开始时想过"三角形两边和大于第三边",但是就是没试.另外我 ...

如果不用“广义托勒密”定理（这个定理不常用），也可以做纯几何证明。老兄觉得简单，何不一试？

luyuanhong · 发表于 2015-4-16 10:03

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

denglongshan · 发表于 2015-4-16 21:47

如何将PB变换到P’C？另外，等号只有P在黄圆的AB劣弧，包括AB两点才成立，楼主的结论不准确。

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