康托尔三分集误入芝诺悖论的魔咒

门外汉

           康托尔三分集由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入，它的构造过程是这样的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1]，如此继续操作下去直至无穷，最后得到一个离散的点集，便称为康托尔三分集。康托尔三分集有许多奇异的性质，其中最让人感到惊奇的性质是：该集合是一个不可数的点集，但测度却为0.

     且不谈康托尔三分集究竟还有哪些奇异的性质，单只说这一点：按照上述方法进行构造，真的能得到那个元素（点）为不可数无穷多的点集吗？笔者在此断言：如果真的如上述方法构造得出一个无穷的点集，必与实数的连续性相矛盾。

     在数学分析中，实数的连续性由七个定理来描述，分别是：确界存在性定理，单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，波尔查诺——魏尔斯特拉斯定理、柯西准则。由于这些定理过于复杂，在此不便描述。实数的连续性用一个最通俗易懂的说法叫做：在数轴上不存在相邻的两点，否则，如果在数轴上存在相邻的两点，那么这两点之间就会存在“间隙”，那么数轴就是离散的、间断的了，就不连续了。

      下面进行说明：如果数轴上不存在相邻两点（实数的连续性有效），则康托尔三分集不能被构造；如果康托尔三分集能被构造，则说明数轴上存在相邻两点。

      在康托尔所描述的三分集中，0和1是这个集合的两个端点，也就是说：在该集合的构造过程中，0这个点和1这个点是始终不能被删除并最终保留下来的。现在单考查1这个点，看看1这个点能不能最终被成功的“分离”出来？

       1这个点被分离的过程其实是这样的：将数轴[0，1]区间三等分，去除中间的（1/3，2/3)部分，剩下[0，1/3]和[2/3,1]这两个部分，由于1这个点位于[2/3,1]这个部分，所以我们只考查这一部分，而不再考查[0，1/3]这部分（将其舍弃）；第二步，将[2/3,1]这一区间三等分,仍然是只考查最右侧的[8/9,1]这一区间;第三步,将[8/9,1]这一区间三等分,仍然是保留最右侧的[26/27,1]这一区间……如此无穷的重复这一过程.这一过程的实质就是：将数轴[0，1]不断的抛除其2/3的部分,而始终保留最右侧的那一区间.(注:以上过程可以画出图形来更加形象直观以助于理解)，在不断的重复这一过程中,区间的长度会越来越短，无限的趋近于0，按康托尔三分集的构造形式，将会最终得到1这个单独的点，即：1这个点会最终被分离出来。

      在此还要费事的解释一下：什么叫做将1这个点最终“分离出来”，形象的来说，第一步：得到[2/3，1]这个区间时,1这个点与该数轴区间是"紧密相连"的,没有被分离出来的,得到[8/9,1]这个区间也仍然是"紧密相连"的……只有当1与数轴上的所有点都不相连时，才说它最终被分离出来。

      然尔最终将1这个点分离出来的假设是与实数的连续性自相矛盾的，因为如果是这样的话，那么就会存在这样的一种情况：在数轴[0，1]区间不断的舍弃其2/3的过程中，区间的长度越来越短，并最终出现这样的区间：该区间仅包含三个点：[x,y,1],下一步，将该区间三等分，去除中间的那个点y，最终得到1这个单独的点。

     然尔如果真的存在这种情况下，则恰好说明在数轴上存在相邻的点，与实数的连续性自相矛盾。

      也许有人会说：这种情况是不存在的，没有道理的，那么我们不妨列出在康托尔所构造的不断将数轴三分舍弃的过程中所有可能出现的情况：

      （1）：在不断三分舍弃的过程中，无论操作到哪一步，任何的区间皆包含无穷多的点。

       （2）：在不断三分舍弃的过程中，会出现这样的区间：该区间包含有限多的点。

       （3）：在不断三分舍弃的过程中，会出现这样的区间：该区间包含有限多且多于3个的点。

       （4）：在不断三分舍弃的过程中，会出现这样的区间：该区间包含3个点。

        （5）：在不断三分舍弃的过程，会出现这样的区间：该区间包含2个点。

     现在逐一分析5种情况会得出来的结果：

      （1）：无论操作到哪一步，任何区间皆包含无穷多的点，则无论如何三等分，都永远得不到1这个单独的点，因此这个过程永远都不能结束，既然得不到1这个单独的点，康托尔的三分集便无法最终被构造出来。

       （2）：如果存在这一步：该区间包含有限多的点，接下来继续操作便会出现（3）、（4）、（5）三种情况之一，则说明数轴上存在相邻的点，与实数的连续性自相矛盾。

       （3）：继续操作下去会出现（4）和（5）两种情况之一，推论的结果同（2）

        （4）与（5）：说明数轴上存在相邻的点，与实数的连续性自相矛盾。

         既然1这个点不能被“分离”出来，那么按照相同的思路，0这个点同样也不能被从数轴上”分离“出来，相同的道理，康托尔三分集中的任意一点都不能被”分离“出来，所以康托尔三分集不能被构造。

       由以上推论可知：要么是康托尔三分集不能被构造，要么是：如果康托尔三分集没有任何错误，则实数的连续性便是错误的。由于实数的连续性是数学分析中的基础，如果它是错误的，则对数学所造成的后果将是灾难性的。

      以上推论的原理实际上是出自于芝诺悖论中的二分法悖论和阿基里斯追龟悖论，这两个悖论阐述的是同一个命题：如果时空是连续的，则运动是不可能的。

elim

你的论断不成立。不难证明，康托集含形如 1-1/3^n 的数 . 所以你的所谓分离是虚妄的。

门外汉

elim 发表于 2015-4-17 01:55
你的论断不成立。不难证明，康托集含形如 1-1/3^n . 所以你的所谓分离是虚妄的。

请具体的解释说明一下。

门外汉

elim 发表于 2015-4-17 01:55
你的论断不成立。不难证明，康托集含形如 1-1/3^n . 所以你的所谓分离是虚妄的。

您的意思是这样的吧：康托三分集中包含这些元素{2/3,8/9,26/27,80/81……1－1/3^n……}，该无穷序列的极限为1.
在康托三分集中，0和1是它的左右端点，所以在上述的无穷序列中，必然包含1这个点，即1属于上述的无穷序列。

elim

我沒有说1属于这个序列。它并不属于该序列，但为该序列的极限。所以1沒有被分离。准确地说，1不是康托集的孤立点。

门外汉

elim 发表于 2015-4-17 05:45
我沒有说1属于这个序列。它并不属于该序列，但为该序列的极限。所以1沒有被分离。准确地说，1不是康托集的 ...

"分离"这个词并不是一个严格的数学用语,恐怕会有歧义,但我不知道该怎样用数学公式来表达,所以只好用了这么一个"文学词".
可以这样来理解:在康托尔三分集的构造过程中，我们只关注一下点1所处的位置：第一步，点1位于[2/3,1]这个区间,它是一个以1为右端点的短线段;第二步,点1位于[8/9,1]区间,它仍然是一个以1为右端点的短线段;第三步,点1位于[26/27,1]区间,它仍然是一个以1为右端点的短线段……随着操作的一遍遍增加,以1为右端点的短线段会越来越短,其长度会无限的趋近于0.

考查其操作到哪一步,只要是以1为右端点的区间长度大于0,那么它便不是康托尔三分集的元素,只有当该区间的长度等于0,即最后区间只剩下1这个唯一的点时,我们可以形象的说1这个点被"分离"出来,这样,1这个点才真正成为康托尔三分集的元素.
这个问题也就是相当于在问:不断的将数轴区间[0,1]删除2/3,始终保留最右侧的那部分区间,操作无穷多次,最后能不能使得该区间只剩下1这个唯一的点?
请问elim老师您如何回答这个问题?

elim

门外汉 发表于 2015-4-17 00:13
"分离"这个词并不是一个严格的数学用语,恐怕会有歧义,但我不知道该怎样用数学公式来表达,所以只好用了这 ...

数学地说，康托集是无处稠密，无处孤立的集合。就是说任何非空区间都含有一个非空子区间，其中不含康托集的任何点。另一方面，康托集的每个点都不是孤立点。不存在以康托集的点为中心的开区间，里面不含康托集的其它点。

但这些事实与实数的连续性没有冲突。

jzkyllcjl

无穷是无有穷尽、无有终了的意思。芝诺二分法悖论和阿基里斯追龟悖论都是不能成立的悖论；康托儿三分集是不能构成的集合；根号2的绝对准十进小数表达式是不存在的。在康托儿三分集合上定义的康托儿分布的分布密度需要使用近似方法解决。根号2的十进小数也只能在近似方法下得到。

elim

Jzkyllcjl 程度太差了，拿初小差生的见解谈连续性，不自量力。

jzkyllcjl

elim 发表于 2015-4-18 06:00
Jzkyllcjl 程度太差了，拿初小差生的见解谈连续性，不自量力。

你诬蔑人！无穷是无有穷尽、无有终了的，芝诺二分法悖论和阿基里斯追龟悖论都是不能成立的悖论；康托儿三分集是不能构成的集合；根号2的绝对准十进小数表达式是不存在的。在康托儿三分集合上定义的康托儿分布的分布密度需要使用近似方法解决。根号2的十进小数也只能在近似方法下得到。