九论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——画蛇添足的结尾 倪则均，2015年4月18日。

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1，无限与无穷级数的概念。
华罗庚的《从杨辉三角谈起》，从第八节至第十二节，花了五个章节的篇幅，主要论述了混合级数和循环级数的问题，它们也是对于等差级数的扩展与延伸，因此无可非议。其第九节“无穷级数的概念”，则着重介绍了有关无限的问题，无穷是我国古代数学里的名称，无限则是现代国际数学里的名称，它们完全是同一个数学概念。华罗庚对于这个问题的看法，似乎也是有所不妥。
无穷的概念在我国，可以追溯到遥远的远古时期。我国十进位制记数法的形成，标志着那时我们的祖先，已经认识到整个自然数，是可以不断地无限逐位扩张的。到了春秋战国时期，那时我国的诸子百家，不仅对于无限的认识，已经十分清晰透彻，而且还出现了极限的思想萌芽。墨子（约公元前468—前376），在他的《墨经》上就说：“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”翻译成我们现在的语言文字，墨子是将“穷”分为有穷和无穷两类，如果能够量尽的区域，叫做有穷；若是永远都量不尽的区域，则为无穷。
在无穷问题上，庄周曾与墨翟发生过激烈地论战，似乎庄周的观点更为清晰。庄周在其《庄子•天下篇》里说：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”，这就是说，至大是没有边界的，叫做无穷大；至小是没有内部的，叫做无穷小。庄周还说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这是我们人类数学史上，所发现的第一个无穷等比级数。墨翟却提出了“非半”的观点予以反驳，墨翟认为半分到最后为“点”，然而“点”是不能再分的，其实这是一种偷换概念的悖论，因为一条线不管如何的半分，它是决不可能分出一个点来的。
然而，尽管古希腊数学家们十分惧怕无穷，但是华罗庚却认为西方数学，也很早就认识了无限的概念，他说：“在西洋的古代数学中也有类似的例子。最有趣的例子之一是所谓齐诺的诡辩，或者叫做亚其尔（Archilles）和龟的问题。亚其尔是希腊传说中一个善走的神，可是齐诺却说在某种情况下他甚至永远赶不上一只乌龟。”这个悖论分明就是我国民间龟兔赛跑的问题。其实，齐诺是否确有其人还是很值得怀疑的，因为齐诺的许多悖论是与《庄子》上的悖论完全相同，或许齐诺只是那个抄袭者的化名而已。
其实有限与无限之间，从未有过什么明确的界线，因为有限总是在不断地向无限扩张。许多过去属于无限范围的东西，现在却被纳入了有限范围之内。而今天大家认为是无限范围里的东西，将来未必还是属于无限范围。无限范围永远比有限范围宽广得多，有限范围里的数学问题，几乎都是一种“量”的大小关系，然而，无限范围里的数学问题，却是一种“级别”的悬殊关系。
无限范围里的数学问题，远比有限范围里的数学问题复杂得多。例如，全体的自然数、奇数及素数集合，它们的数量全都无限，但是它们之间的“级别”极其悬殊。如果混淆了这种“级别”悬殊，就要出大问题。再如，我们可以构造出无限多个无穷级数，它们的极值全都为1，那么，我们能在这些无穷级数之间连以等号吗？显然不能，因为它们逼近1的速度大不一样，所以我们不能将一个无穷级数，轻易地用其极值予以表示。
2，莱布尼茨的微积分。
华罗庚的《从杨辉三角谈起》的第十三节，介绍了倒数级数的问题，其实，《庄子》里的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是一个倒数级数，当然，也是一个公比为1/2的等比级数。然而，华罗庚对于倒数级数的讨论，却没有从我国古代的这个等比级数展开，他所给出的下面的第一个实例，在西方数学里是极为著名的，不知什么原因，华罗庚却是只字未提这个实例的出典：
1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/（n-1）n+1/n（n+1）
=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+…+[1/（n-1）-1/n]+[1/n-1/（n+1）]
=1-（1/2-1/2）-（1/3-1/3）-…-（1/n-1/n）-1/（n+1）=1-1/（n+1）。
如果将这个倒数级数的各项全都乘以2，那么所得到的∑2/n（n+1），就是1673年，莱布尼茨去巴黎时，惠更斯请求他帮助解决的难题，上面的解题过程，应该就是莱布尼茨当时的巧妙算法。对于这个问题的解决，莱布尼茨尽管十分得意，但是他却没有骄傲自满，他对于这个问题，又作了再进一步的研究，于是他又发现，这个倒数级数的倒数级数∑n（n+1）/2，正是我国“易卦三角”的第三个斜行之和，也就是一个2阶等差级数。
大约是在1677年，莱布尼茨终于认识到，对于杨辉的垛积第一系统来说，其n-1阶等差级数之和，必定就是其n阶等差级数的通项式，这个通项式的定积分，必定就是这个n阶等差级数之和。反过来则有，其n阶等差级数之和的微分，必定就是这个n阶等差级数的通项式。当然，莱布尼茨还会更进一步的认识到，对于所有的垛积系统来说，这样的微积分关系必定全都存在。
由于莱布尼茨所给出的全体自然数的三次幂和公式，也是运用了朱世杰的招差术所得到，从而说明那时的莱布尼茨同样已经掌握了差分原理。因此莱布尼茨的微积分，是离散型的差分式的微积分。显然，莱布尼茨的微积分，与牛顿的微积分，是有着根本性的区别的。在微积分的优先权的问题上，欧洲大陆与英伦三岛之间争斗了上百年，结果是欧洲大陆的数学越争越强，英伦三岛的数学则是越争越弱，足以显示了莱布尼茨微积分的优越。
其实，我国清末的李善兰也是根据了杨辉的垛积术，和朱世杰的招差术，同样也已经得到了我们中国式的微积分。然而，那时西方的微积分已经比较成熟，十分强大，弱小的中国式的微积分又怎能与之抗衡。华罗庚的《从杨辉三角谈起》，如果到此结束，应该还可以说是比较完美的，但是，华罗庚却没有到此结束，他又写了不伦不类的第十四节，简直就是画蛇添足，多此一举。显然，华罗庚本想借机卖弄一下他的渐近数学，不料却反而曝露出了一些他根本没有意识到的问题。
3，谨慎运用三角函数的问题。
华罗庚的《从杨辉三角谈起》的最后一节是“级数∑1/n2的渐近值”，此节从一开始他就说：“从上节中已经可以看到，有很多无穷级数我们是无法在初等数学的范围之内求得它们的准确值的；而且即使能求出来，如果它是一个无理数，那末在实际应用上仍然是不方便的。因此就实用的价值来说，我们的任务往往是要用最简捷的方法求得一个无穷级数的有理渐近值。”上面这一番话，显然是一个前后相互矛盾的说法，根本没有对渐近值作出十分明确的数学定义。
渐近值应该是指对于没有明确生成规律的无理数，所作出的有理数的近似表示。得到这类无理数的渐近值的一般方法是，首先将这个无理数转变为包含有小数的数，然后通过连分数的方法，逐渐求出它的渐近的近似精确值。然而，对于一个无穷级数来说，它们的各项之和有收敛和发散之分。如果这个无穷级数的各项之和是收敛的，它就会存在着一个极限，这个极限未必都是无理数。其实即使这个极限是一个无理数，那么也只是一个无限逼近的问题，决不是什么渐近值的问题。
全体自然数的倒数1/n被称为调和级数，早在十四世纪法国学者尼古拉奥雷姆，就已经证明了这个调和级数的和∑1/n是发散的。然而，尽管许多数学家都已经知道级数∑1/n2是收敛的，但是却一直无法推导得到其极限为何类之数。直到1740年，才由欧拉给出了让那些数学家，全都为之一震的结果：∑1/n2=π2/6。徐利治和郑毓信所著的《关系映射反演原则及应用》中说：
“由于Sinx=x-x3/3！+x5/5！-x7/7！+…，于是Sinx便可看成是一个无限次的代数多项式，欧拉把它和代数多项式因子分解定理作比较，便联想到Sinx也应该能表示成因子连乘积。但因为Sinx=0有无穷多个根：x=0，±π，±2π，±3π…，所以Sinx应表示成无穷多个因子乘积。于是通过联想和类比，欧拉便发现Sinx可以分解成下列因子连乘积：
Sinx=x[1-x2/（π）2][1-x2/（2π）2][ 1-x2/（3π）2]…，
这便是著名的欧拉公式，这个公式利用数学分析方法，可以获得严格的证明，特别有趣的是，如果把上式右端展开，可以看出——x3的系数是：1/（π）2+1/（2π）2+1/（3π）2+…=1/3！。从而得到自然数平方之倒数的级数和公式：∑1/n2=π2/6。”
对于这个推导过程和结果，我不能不全有所怀疑，因为我最近已经发现，对于另一个更重要的欧拉公式eiΠ=cosπ+isinπ=-1来说，竟然会是错的，其中的cosπ=-1和sinπ=0居然不能成立，因为如果成立eiΠ=-1，则有e2iΠ=1，导致出现2iπ=0的谬误。可谓无独有偶，较早之前我就已经发现，对于xn+1=λxn（1-xn）洛克方程来说，当λ=4时，下面的二组三周期点：
x1=Sin220o，x2=Sin240o，x3=Sin280o；
x1=Sin2（180o/7），x2=Sin2（360o/7），x3=Sin2（720o/7）。
居然也是错的。这两类错误的出现，似乎全都与非欧几何密切相关，也就是说，对于我们当今的高深数学来说，千万要谨慎运用三角函数，以免上当受骗。由于最后一节的内容，远远偏离了《从杨辉三角谈起》的主题，因此这是一个画蛇添足的结尾。