向数学专家请教 磨练自己

塞上平常心

向数学专家请教  磨练自己(1)
       2014年6月，我第一次登陆科学智慧火花。
    该栏目由中国科学院主办，中国科学技术协会协办，面向广大科技工作者和社会大众，登载有关自然科学与技术新问题、新概念、新思路和新方法的短文，汇集来自公众的科学智慧与灵感，交流对科学技术问题的见解。2011年智慧火花初建时，中科院负责人表示，希望将其打造成吸收科学智慧的窗口、沟通科学思想的渠道、广大科学爱好者和科学家良好互动的平台，在充分的交流中迸发更多更亮的智慧火花，为促进我国科学事业的蓬勃发展和国民科学素养的提高做出贡献。
    “良好互动的平台”、“充分的交流”，这无疑是众多业余数学爱好者梦寐以求的环境，我为之感动。于是产生了一段难忘的经历：

附：科学智慧火花给我的退稿通知主要内容及投退稿时间：
《数学与观察之三：Collatz树的整体规律(1)》 投稿 2014-08-20 22:03  退稿 2014.9.20
       本文提到的邬家邦，经网上查询，发现2001年湖南大学出版社出版了他的《3N+1猜想》一书。同时在美国数学评论（Mathematical Reviews）查到他（与合作者）有以下3篇论文：……这3篇论文都是用中文发表在华中理工大学学报（自然科学版），篇幅分别只有2页、3页和3页，在数学界尚没有看到明显影响。至于发表在网络上的文章，还不能算数。
    文中定义“Ci(m)的前一项 Ci-1(m)为该项的双亲；其下一项为该项的孩子”。这个称呼是不适当的，因为双亲显然是一个复数名词。应该分别称为“前辈”和“后裔”。这样也避免了后面“无穷多个双亲”（把双亲的双亲仍称双亲）这种不合理的说法。
“根据定理1”，全文找不到定理1。
    文中有，h(m)=h(m0)，这并不等价于C1(m)=C1(m0)。数集A和数集B是什么？文中没有交待。
    评审专家在对作者的前一篇文章“对同高连续数对一个奇特现象的证明”的评审意见中说过：“用二进制数来讨论，并没有改变问题的实质。写成二进制数以后，遇到偶数除以2，相当于把最后一个0抹去；遇到奇数时就比较复杂，无法写出明确的结果。”总体而言，虽然3n+1猜想是一个有趣的问题，但本文文章写得混乱，证明很不严格，也没有得出有意义的结果。

《数学与观察之三：Collatz树的整体规律(2)》 投稿 2014-08-23 11:04  退稿 2014.9.20
       再次强调：用二进制数的方法，没有改变3n+1猜想的实质。因而用这种方法不可能得到实质性的结果。

《对同高连续数对一个奇特现象的证明》 投稿 2014-06-29 16:37 退稿 2014.9.20
      本文用二进制数来讨论3n+1猜想，并没有改变问题的实质。写成二进制数以后，遇到偶数除以2，相当于把最后一个0抹去；遇到奇数时就比较复杂，无法写出明确的结果。正因如此，用作者的方法只能算一些具体的例子，而无法进行一般性的讨论。

《数学与观察之一：简化计算的一个途径》 投稿 2014-07-29 22:32  退稿  2014.9.28上午04:31
       本文涉及Collatz猜想（又称为3n+1猜想……，是一个至今未解决的有趣问题）。但作者的叙述有错，准确的说法是：对任意正整数m（并非只对奇数），……
    有些人试图采用二进制数来证明Collatz猜想，但均未成功。实际上，用二进制数来讨论，并没有改变问题的实质。写成二进制数以后，遇到偶数除以2，相当于把最后一个0抹去；遇到奇数时就比较复杂，没有规律可循，无法写出明确的结果。

《数学与观察之二：确定恰当的研究范围》 投稿 2014-08-12 21:45  退稿 2014.9.28
       用二进制数来讨论Collatz猜想，并没有改变问题的实质。写成二进制数以后，遇到偶数除以2，相当于把最后一个0抹去；遇到奇数时就比较复杂，没有规律可循，无法写出明确的结果。对某种特定形式的数可以采用特定的方法，但特定形式的种类是无穷无尽的，不可能对所有奇数找到统一的处理办法。

《数学与观察之四:循环圈》 投稿 2014-08-31 22:02  退稿  2014.12.21
       作者对于“Collatz树”的文章，本栏目已经作了评审和回复，请作者参阅。

《数学与观察之一：采用二进制数探索Collatz问题》 投稿 2014-09-29 23:20   退稿 2015.3.9
      本文与作者另一篇稿件的问题一样，仍然没有给出奇数用二进制表示的一般规律。举例不能说明什么（写出某个奇数的二进制表示是极其容易的，问题是要找出一般的规律），不找出一般规律，是不具备学术价值的。

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向数学专家请教  磨练自己(2)
       对于一名业余数学爱好者，学习提高是第一位的。我衷心感谢科学智慧火花退稿通知中指出了我的一些具体问题，还为我查找推荐了一些文献。这让我看到了自己的不足，明白了自己的某些错误之处。近年来，我不断在网上发表文章，征求意见，这样比较认真的批评建议，较少见。
    为此，我首先检讨自己、改正错误。我回复说：“信中指出我的某些具体错误是非常低级的错误，不应当发生。由于我的错误浪费了编辑组和您宝贵的时间、精力，深感内疚，我真诚地向您道歉：对不起！文章可以不发表发表，错误我一定要改正，并引以为戒，争取以后不再犯这样的错误。我的文章还有一些小问题，我也在作改正。对这些错误，我做了认真分析，找出了原因。对自己错误的分析、对文章的修改情况，我将公开发表在我的博客上，以便认真接受教训，继续接受各方面各种批评意见。”之后，我在自己的博客接连发表了4篇文章（平常心的博客 http://blog.sina.com.cn/yaoshunyouzi《检讨与反思⑴—⑷》）。
    对于退稿通知涉及的原则问题，我认为应当讨论。当时我认为，专家认真指出我的具体错误很难得，只是由于工作繁忙，难免产生一点误解，只要略加沟通，这些问题很容易解决。
    2014年9月24日，恳请编辑组征求专家的意见，是否同意直接与我沟通。接着于27日写信给数学专家，逐条分析了退稿通知的意见。我对审稿专家说，“下面的内容，我希望直接写给您，一是对您认真负责的工作表示真诚感谢，二是希望进一步向您学习。我理解审稿工作的繁重、艰辛，面对素质参差不齐的业余爱好者，有时候可能比专家专家攻克科研课题还要辛苦，在在这种情况下，对个别小问题难免无瑕细想。智慧火花栏目是广大科学爱好者和科学家互动的平台，藉此机会提出自己的一些肤浅认识，表达一个低水平的业余爱好者、数学方面的小学生，向您学习的真诚愿望。若我讲的不对，望海涵，也许将来有机会向您当面请教。”
    然而问题看来简单，半年多十多次的努力，却没有效果。我这才意识到，一个业余爱好者要与数学专家讨论加加减减，实在是不可思议的荒唐事。某些数学专业工作者与业余爱好者之间的误解由来已久，紧靠三言两语和幼稚的良好愿望难以解决。
    面对现实，我只好在自己的博客和数学论坛上发表文章。我所说的原则问题是什么？加加减减的数学问题有什么值得讨论的“原则问题”？下面我将从文献、二进制、举例与规律、共识等方面逐一介绍分析。这对我来说是继续学习，进一步提高认识。望大家多多批评指正。我更希望客观事实和我的真诚，让数学专业工作者对业余数学爱好者有更多的了解和认识。

塞上平常心

向数学专家请教  磨练自己⑶
      某网站的老师一再告诫我，“切记要多读文献(literature)，看看前人走过的路。”
    当时我回答说，“我对文献是重视的，但由于自身条件等因素的限制，我看的文献确实少。没有前人的研究成果，就不会有我今天的收获。论坛的老师的辛勤工作让我接触到更多的文献和研究成果，我来此的原因之一就是表示感谢。”
    这次，数学专家很认真地向我推荐了3篇最新文献，我自然是一再感谢了。感谢之余，我愈加认识到自己的不足。专家是从美国数学评论查找文献的，我到自治区图书馆也无法查到。因为，“《数学评论》与 MathSciNet 已成为数学研究者的常用工具之一，但是此数据库会辨认IP，必须在有订购 MathSciNet 的研究机构方可登入。”必须承认我的数学、外语水平需要大大提高。当然，在得到提高之前，我仍然要继续探索，这也是提高自己的一个重要途径。
    对于一个业余爱好者，首先要解决为什么使用文献、如何恰当地利用文献。由于研究数学问题的目的、方法、条件等不尽相同，对这个问题的看法自然也会有所不同。下面说说我的想法，请专家与各位网友指正。
    我的文章参考了邬家邦等人的著作文章。审稿专家说，邬家邦的文章“在数学界尚没有看到明显影响。至于发表在网络上的文章，还不能算数。”
我在给专家的回复中说，“我这样的业余爱好者能够接触到的文献资料较少，确实没有能力判断某个文献在数学界的“影响”大小。” “我对文献的态度是，积极收集，尊重作者，认真学习但不盲从。如果需要引用文献上的某个观点，我自己一定要把它搞清楚。一个人的文章不可过分依赖文献的影响，必须有自己的东西。”
    我认为，引用文献，一是要说明自己的研究借鉴参考了别人的哪些东西，且确认借鉴、引用的东西是正确的；二是对前人已得到确认的定理、观点，可以省略有关证明、论述过程。我不主张靠文献的影响力证明自己文章的学术价值。三是认真分析别人走过的弯路。下面介绍我在文章中引用的主要文献情况。
    邬家邦先生的《3N+1猜想》是国内唯一详细介绍和普及“3N+1问题”的著作，这本书和异调先生在网上发表的《3x+1问题》（《三思科学》电子杂志，创刊号，2001.07.01）在业余数学爱好者中的影响比较大。
我引用借鉴了邬家邦书中关于压缩迭代的主要观点和表达式，因为这些是正确的。邬家邦先生虽然是这些论述的介绍者，但我说明是从他的著作中引用的就足够了。
    我引用过异调先生文章中介绍波兰著名数学家Paul Erdos对3x＋1问题评论。我国数学家也有过这样的介绍（胡作玄《数学是什么？》，北京大学出版社，2008年6月，39页），J. C. Lagarias的文章也介绍说，“Paul Erdos commented concerning the intractability of the 3x+1 problem: ‘Mathematics is not yet ready for such problems.’”（Jeffrey C. Lagarias, The 3x+1 Problem and its Generalizations, AT&T Bell Laboratories Murray Hill,NJ 07974. January 16,1996.）与后者相比，异调的文章虽然是“不算数”的，但介绍的内容完全一致。我引用前者一是因为，他的文章在国内业余数学爱好者中影响较大，二是我本人基本上不懂外语，这样做比较客观。
    我文章中的定理1虽然是独立完成的，但我发现内蒙古科技大学包头师范学院郝生旺先生之前已提出了相同的定理和证明(中国科技网2008年5月21日)。我提到郝先生的文章，是承认客观事实，尊重真理。郝先生的文章是否“算数”，其论证是否有漏洞、错误，请有关专家、部门去评论吧，我只是说有关该定理的具体论述是正确的。一篇有错误的文章，如果其中有自己独特的正确东西，也是值得尊重的；相反，如果文章引用了大量名人的结论，而没有自己的东西，就没有什么价值。我在给审稿专家的回复中说，“好的文献是能够触动灵感、纠正错误的文献，对某些著名研究者成果的盲从，也可能导致远离目标；网络上不起眼不算数的小文章，往往漏洞百出，但也可能蕴含着破解难题的火花，这样的不算数文章也可能体现出‘科学智慧火花栏目’存在的价值。”
    Collatz3N+1问题是中国分布式计算总站的计算项目之一，（荷兰）Eric Roosendaal的“On the 3x+1 Problem”网站（http://WWW.ericr.nl/wondrous/index.html.）刊载了一些有关资料，并不断公布全世界分布式计算的最新成果。我的文章也借鉴引用了其中的某些概念以及观点。我不知道，这些是否也属于专家否定的“网络文章”。我的引用实事求是绝不断章取义，借鉴不是照抄、照搬，有我自己的论述、证明，欢迎直接对我的论述证明批评指正。
    总之，在利用文献方面，我需要不断努力，弥补自己的不足。我努力实事求是地运用与自己文章的主要论点有关的文献，不会把文献的影响大小作为选用文献的标准。一味照抄、照搬前人的研究成果，自己却没有真正理解，这才是最可怕的。失去独立思考，盲目按照某些正规的但至今未能取得成功的大师们的方法去摸索，实际上是在浪费时间和精力，一点味道也没有。当人们的研究遇到巨大困难时，就会有人说，“眼前无路欲回头”。如果认为，面对“数学家成年累月地努力尚未解决的难题”，已不可能提出新的思路和方法，把回头后的精力过多地集中在“寻找反例”方面，其结果必然压制了自己和他人的新思路和创新精神。。
    有人告诫我：“搞数学常常遇到的问题，就是自己搞出来的东西之前的人已经搞过了。这就是为什么读文献很重要。”多读文献，是自己的研究少走弯路，提高自己的研究效率，确实很重要。但对于业余数学爱好者，出现的“搞出来的东西之前的人已经搞过了”情况较难避免，因为他自身的局限性不完全是靠主观努力就能够解决的。再说，即便出现了这种情况也无需悲观气馁。业余爱好者的重要目的是学习，一个学生每天的数学作业不都是已有结论的东西么？如果你能够独立完成，能用不同的方法完成，甚至能用前人没有使用过的方法完成，这就是很大的收获。我真正关心的是，我的每一步脚印有哪些进步或者有什么错误、漏洞，是我自己是否学到了新的东西，是否有提高。对固然可喜，错也并不可怕，只要明白错在何处，同样是进步。理解文献、理解你研究的问题，比看文献更重要。
    实事求是是讨论问题的基础，我将在接下来的文章中，认真介绍分析我对Collatz问题的主要观点，让事实来说话。对我来说，这是又是一次很好的学习机会，我渴望听到各种批评意见。

塞上平常心

向数学专家请教  磨练自己⑷

       我采用二进制探索Collatz问题。
    数学审稿专家说，“有些人试图采用二进制数来证明Collatz猜想，但均未成功。”
    这是一个很好的警示。专家眼里的“有些人”绝非指在网络是发表一些不算数文章的人，明确一点说就是：数学专家用二进制都没有取得成功，你干么还要这么做？其实，失败是常有的事，我试图采用自己独特的方式努力探索，即或失败也会有所收获。世界上无数的人（包括一些知名的数学家）用十进制研究这个问题几十年，均未成功。但这并没有影响大家继续用十进制研究该问题。
    审稿专家一再强调，“实际上，用二进制数来讨论，并没有改变问题的实质。写成二进制数以后，遇到偶数除以2，相当于把最后一个0抹去；遇到奇数时就比较复杂，没有规律可循，无法写出明确的结果。”
    二进制数确实没有也不可能改变问题的实质（任何进制也都不能改变），同理二进制数也绝不改变数字及数字运算的实质，简单的运算也不会因此而变得复杂。具体到Collatz问题上，主要计算是乘3加1与除2。任一二进制奇数m乘11(3)，实际上是对m进行错位加法，只有0与1两个字符的加法比十进制更简单，数学界对此已有定论。专家可以怀疑我的能力，不必因此抹杀二进制的优越性。
    进位制本身并无好坏之分，不同进位制有不同的长处和短处，选用哪一种进制，要由实践需要来决定。人们习惯于使用十进制，处理一般问题，用十进制比较方便。人们成功地用二进制解决了某些数学问题，这并非是因为二进制改变了这些问题的实质，而是二进制数能够较明显地反映出这些问题的实质。在这方面，专家应该比我了解得更多。
    规律是客观存在的，所谓“没有规律可循”，是因为尚未发现它，并非是因为采用了二进制。
    后来，专家又说，“本文与作者另一篇稿件的问题一样，仍然没有给出奇数用二进制表示的一般规律。举例不能说明什么（写出某个奇数的二进制表示是极其容易的，问题是要找出一般的规律），不找出一般规律，是不具备学术价值的。” 这次，专家没有再说，“遇到奇数时就比较复杂，……无法写出明确的结果。”我认为，这段话代表了专家根深蒂固的认识：没有也不可能找出问题的一般规律。这样的认识往往会影响到基本判断，有可能只根据表面印象把严密的证明看做举例。
    但这确实是一个原则问题。
    无需争辩！就让我们逐条分析我文章中的主要论点、论据、定理，看看是“举例”还是“一般规律”吧。脱离了具体问题，空谈二进制意义不大。在分析具体的论证过程中，自然就会体现出采用二进制的优越性。

llz2008

我认为我已经解决了这个问题。这是我证明的连接http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=25517&extra=

塞上平常心

llz2008 发表于 2015-4-23 10:07
我认为我已经解决了这个问题。这是我证明的连接http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&ti ...

李老师：你好！
    非常高兴再次与你相遇。祝贺你的成功，我已下载你的文章，对我来说又是一个很好的学习就会。
我的这个帖子目的有二点：
    最重要的是学习。作为一个低水平业余爱好者，接触一点有趣的问题，通过自己的思考学习，比单纯的看教科书要有趣，也会有较多的收获。看前人的结论有益，通过自己的思考得来的理解更深刻。我不追求太大的目标，主要是和自己比较。一些很简单的问题，如果我没有理解，也会不断努力搞明白。如审稿专家说我的文章是举例，我想“举例”与证明推理应该有较大区别，必须要搞清楚。得到你的关注，我非常希望得到你的指导。
    第二点是一个尝试。数学家说，加加减减解决不了大问题。我探索Collatz问题用的就是加加减减，我试图通过大家的批评指导，看看加加减减的“斧头锯子”是否能够解决一些问题。（我在有关的帖子里已说明了这点，望指正。这里不再多说了。）

任在深

塞上平常心 发表于 2015-4-23 14:27
李老师：你好！
    非常高兴再次与你相遇。祝贺你的成功，我已下载你的文章，对我来说又是一个很好的学 ...

注意！
       要从理论基础上解决！！

塞上平常心

向数学专家请教  磨练自己⑸
       我将探索Collatz问题的体会理解分成几个小问题，逐篇向“科学智慧火花”投稿。我的原意是，一篇文章不要太长，每篇说一个小问题，可以说得清楚一点。当然，各篇文章是相互衔接紧密联系的。
    《数学与观察之一：简化计算的一个途径》的投稿日期是2014-07-29
      《数学与观察之二：确定恰当的研究范围》的投稿日期是2014-08-12 21:45
      《数学与观察之三：Collatz树的整体规律(1)》的投稿日期是2014-08-20
     我想不到，专家首先审查的是《数学与观察之三：Collatz树的整体规律(1)》。9月20日专家在退稿通知中说：“‘根据定理1’，全文找不到定理1。”“文中有，h(m)=h(m0)，这并不等价于C1(m)=C1(m0)。数集A和数集B是什么？文中没有交待。”（注：这些是在前2篇文章的内容）于是顺理成章推出以下结论：“总体而言，虽然3n+1猜想是一个有趣的问题，但本文文章写得混乱，证明很不严格，也没有得出有意义的结果。”
    9月27日，我与科学智慧火花栏目组及专家联系，说明了这一情况。次日，我才收到前2篇文章的退稿通知。
    接受这个教训，我先说说自己的整体思路，然后再逐一分析。
   
    从表面上看，Collatz猜想是一个较简单的问题。从迭代序列总的变化趋势以及大量的数据计算结果来看，都令人相信猜想是正确的。初介入这一问题者，较容易进入某种启发式的概率推导模式。“可是一个启发性论证，……如果没有数学证明，它还是得被叫做一个猜想，而不是定理。”
    还有些研究者试图将自然数划分为若干类型，然后各个击破。但正如专家在给我的退稿通知中说，“对某种特定形式的数可以采用特定的方法，但特定形式的种类是无穷无尽的”，虽然数学家采用先进的数学手段，依然困难重重。
    几十年艰难的历程，令不少人哀叹：“不可能对所有奇数找到统一的处理办法。”
    持悲观态度的研究者并非少数。“已经有无数数学家和数学爱好者尝试过，其中不乏天才和世界上第一流的数学家，他们都没有成功。”“我们有必要稍微严肃点看待此问题，因为3x+1问题离不可证明的问题并不太远。”（异调：《3X+1问题》）“we show that any proof of the Collatz 3n+1 Conjecture must have an infinite number of lines. Therefore, no formal proof is possible. ”（我们认为，Collatz 3N + 1猜想任何证明必定涉及到无限的序列。因此，没有正式的证明是可行的。Craig Alan Feinstein, The Collatz 3n+1 Conjecture is Unprovable, Submitted on 16 Dec 2003 (v1), last revised 10 May 2011 (this version, v19) ）。

    国内一些研究者受此悲观态度的影响也较大。*
    邬家邦先生说：“3N+1猜想只所以难以攻克，原因就在于对一般的n∈N，n的迭代轨迹序列T(n)={C0(n), C1(n), C2(n), ……}中的元素（注：各元素C后面的数字是C的上标）排列杂乱无章，无规律可循，从而使得n的完全停止次数tc (n)随n的变化情况无法把握。”（邬家邦《3N + 1 猜想》132页. 长沙: 湖南大学出版社, 2001年.）
    “3N＋1函数的一个吸引人的性质是其迭代过程中的伪随机行为，这种伪随机性被认为是解决3N＋1猜想的困难所在。”（见Baidu文库：《3N+1猜想的Markov链模型》，作者：赵国、王辉）。
    还有的研究者“利用4m+3迭代，提出构建一个无限单调增值序列的方法（注：文中仅构建了“任意多次的单调序列数的序列”）”，借此否定该猜想的成立。（陈中乐：《构建一个无限单调增值序列的方法》，齐齐哈尔大学 28卷 第1期 2012年1月）。

    以上研究者的着眼点大都是迭代序列。所谓“不可能对所有奇数找到统一的处理办法”，是没有意识到，“统一”是问题的关键。要彻底解决某问题，首先要理解这个问题的实质。若将无穷无尽的特定形式的序列统一在一个Collatz图中，它们必将遵循同一个规律，任何单独的迭代序列均不能脱离这个规律而无限增值。专家似乎把自己禁锢在“特定形式”之中，忽略了我文章的核心内容：寻求统一的“一般规律”。
    我注意到有人说过，“Collatz问题是连通无回路的树状结构。”（王念良：《Collatz问题的证明》商洛师范专科学校学报 第16卷第2期 2002年6月）
    国外也有研究者声称：“Currently, I've obtained a detailed mapping of the residue sets which constitute the abstract Collatz predecessor tree. （Ken Conrow's 3x+1 problem structure page. （荷兰）Eric Roosendaal的“On the 3x+1 Problem”）
    我相信，还有其他研究者也想到或尝试过，但没有人宣布已经发现有规律Collatz图。
    我认为，原因有两点：第一，Collatz序列不是一个纯粹的单一的线性序列，而是一个多维序列的组合。应当消除某些不影响我们研究结论的因素，让问题的主要规律比较清晰地显示出来。第二，人们习惯于使用十进制数，在这个问题上，十进制数不利于研究者观察分析其规律。我主张采用二进制数。
    因此，我在采用二进制数的基础上，适度压缩研究范围（在逐步深入理解Collatz问题的基础上，区分不同类型的自然数在迭代序列中的地位、作用，再根据严谨证明推理适度压缩），最后总结出Collatz图的基本规律。
    这就是我的基本思路。

    附注*：这段文章中我又引用了一些网上的和“影响不大”的文章。我觉得我的文章也属于这一类，我希望国内研究该问题者（无论是专业的还是业余的），都能够认真地实事求是地共同讨论）

任在深

注意！
      要从结构数学出发！
      要从“数”的结构出发！！

塞上平常心

向数学专家请教  磨练自己⑹
2014年9月29日，我将修改后的《数学与观察之一：采用二进制数探索Collatz问题》再次投到科学智慧火花。下面是文章的核心内容：