重磅级数学难题：追狗悖论

门外汉

最近在网上查找数学参考资料时，看到了一个由芝诺悖论改编而成的悖论，起初以为这个悖论也可以用微积分方法轻易的解决掉，但仔细的检验其中的逻辑推理过程，却发现在这个悖论中存在着一个不易被人查觉的极其隐蔽的逻辑漏洞，笔者认为这个逻辑漏洞是无法解释的，因此将这个悖论详细的介绍一下，供网友们参考一下。
这个悖论是这样描述的：
A和B相对而行，速度都是1m/s，相距20m
狗狗同时从A这里出发，跑到B处就返回，到A处再跑向B，速度是2m/s，问A、B相遇狗狗跑了多长……
我们做这个小学题目是A、B相遇用10s，所以狗狗跑了20m……不过某大神听到这样的一个问题直接求了个无穷级数，然后知道了这种小学生的算法后恍然大悟的说“哦！原来还可以这样算，好聪明！”……
问题是狗到任何一个人的时候，两个人不可能相遇啊｜而两个人不相遇，狗狗就一定会跑动｜狗狗在跑动，就肯定会先到某个人身边（在相遇之前）｜所以……狗怎么会停下来呢？或者说，这俩人怎么可能相遇？
下面我详细介绍一下这个悖论之中究竟存在什么样的逻辑漏洞：
为了方便理解， 我们将A和B两个人转换成为质点A和B，将狗狗转换为质点G，设有数轴区间[0，20]，最开始，A和G同时位于0这个位置，B位于20这个位置，运动开始：A和G同时向B的方向运动，同时间B向A的方向运动。
将这个运动的过程转换成为一个“追狗问题”，也就是从这个角度来进行思考：当A与G同时出发时，A是在追赶G，由于G的速度比A快，所以A是追不上G的，所以G会跑到B处；当G与B碰面时，G掉头往A处跑，这时候是B追赶G，由于G的速度比B快，所以B是追不上G的，所以G又会跑到A处；当G与A碰面时又掉头往回跑……
由此G在A与B之间来回折返，这个过程会持续无穷多次，因为只要A与B的距离在数轴区间上的长度大于0，G就不会停下来，既然G不停下来，那么A与B谁也追不上G。而使G停止运动的唯一条件便是：A与B之间的距离等于0，由于G处于A与B的中间位置，也即是A、G、B三者之间的距离为0。
事实上通过小学数学的计算方法也能得知：A与B会在数轴的10这个位置上相遇，三者同时停止运动。
但这其中却是存在着逻辑矛盾的，因为如果这样的话，那么就会推论出这么一条违反逻辑的结论来：A与B之中的某一方用低于G的速度追上了G，也就是说：速度低的运动物体追上了速度高的运动物体。
具体的解释是这样的：要想使A、G、B三者之间的距离为0，那么只有唯一的这样一种可能：假设在某一步，G处于A的位置（假设处于B的位置也是相同的结果），掉头往B处跑，当G跑到B处时，A也同时到达B处，于是三者之间的距离为0。
但这种情况是不可能的，因为从前提条件中已知G的速度是AB两人速度的两倍，问题是：既然A与G的运动速度是不相同的，那么二者怎么会同时到达B处呢？这岂不是一倍的速度等于两倍的速度吗？或者说速度低的运动物体追上了速度高的运动物体。
这其中的逻辑矛盾我自认为是无法合理的解释的，希望广大的网友能给出一个合理的解释来。

ataorj

相当于A,B不停调整起点,低速不会追上高速,不是他们追上了狗,是他们最后处于同一起点。

门外汉

ataorj 发表于 2015-4-20 14:25
相当于A,B不停调整起点,低速不会追上高速,不是他们追上了狗,是他们最后处于同一起点。

矛盾就出在这最后一步了，如果三者处于同一点，便能推导出我主帖中所说的矛盾。

门外汉

追狗悖论其实是芝诺悖论的另一种表现形式，如果这个悖论不能解决，那么说明芝诺悖论其实没有被解决。
而且，这个追狗悖论恰恰是攻击实数的连续性。

elim

不知道原问题是怎么表述的，也不知道论坛有多少人明白主贴的确切意思。我还没有看懂问题。

门外汉

elim 发表于 2015-4-21 16:20
不知道原问题是怎么表述的，也不知道论坛有多少人明白主贴的确切意思。我还没有看懂问题。

我想论坛上有很多人可能确实是看不懂，那我再讲解一下，如果依然还是看不懂，请指明是哪里没看懂，我再继续讲解：
   根据主帖中的表述：A（人）位于数轴0这个位置，B（人）位于数轴的20这个位置，G（狗）位于二者中间，2个人的速度是1米每秒，狗的速度是人的速度的两倍，为2米每秒。
   最初，A与G同时位于0这个位置，向B的方向运动，同时间B向A的方向运动。
   假设是A和B二人共同捉狗，第一回合，由于G的速度比A快，所以A追不上G，所以G会先跑到B这里，立即掉头往回跑，这时候是B在追G，由于G的速度比B快，所以G会跑到A这里。
    所以G会在A与B之间来回折返，这个过程会持续无穷多次，只要是A与B之间的距离大于0，G就不会停下来。
   要想使G停下来的唯一条件便是：A与B之间的距离等于0.
    而要使A与B之间的距离等于0（考查三者运动中的所有情况），那么只有唯一的这么一种可能：假设在一个无穷小的区间内，当G到达B点时，A也同时到达B点，或者是：当G到达A点时，B也同时到达A点。（两种情况是等价的）
    但是：由于狗的速度与人的速度是不相同的，所以要使人和狗同时到达另一点，这是不可能的，这就如同说是一倍的速度等于两倍的速度，或者说是低速与高速同速。

门外汉

如果elim老师还是没看懂，那我再做一下简化：《追狗悖论2》：
设有一条长为20米的短巷，短巷的另一端是完全封闭的（即俗称的“死胡同”），有一个人和一条狗同时位于短巷的出口处，人的速度为每秒1米，狗的速度为每秒2米，二者同时向短巷的封闭端行进，当狗跑到尽头时便掉头往回跑，遇到人时掉头往回跑，跑到尽头时又掉头往回跑……问人能走到短巷的尽头吗？
仅用小学数学的计算方法便可以很容易的计算出：人走到短巷的尽头只需要20秒，狗来回折返，总共跑了40米。
然尔将这个问题转换成为一个纯粹的逻辑思考问题却会意外的出现这样的结果：人是走不到短巷的尽头的，否则会存在难以解决的逻辑矛盾。
为方便理解，设人为质点R，狗为质点G，并设一条数轴区间[a，b],令a=0,b=20米，R的速度为每秒1米，G的速度为每秒2米，最开始，R与G同时位于a点（0点），二者同时向b点运动，我们想像是R在追赶G，由于G的速度比R快，所以R是追不上G的，所以G会先跑到b点，然后掉头往回跑，当碰上R时又掉头往回跑。
这个过程会持续无穷多次，只要是R所处的位置与b点的距离大于0，G就不会停下来，而G不停下来，R便追不上G。
使G停止运动的唯一条件便是：R与b的距离等于0，由于G位于R和b点的中间位置，也就是R、G、b三点的距离等于0.而出现这种情况的唯一可能就是：当G到达b点的时候，R也同时到达b点，即R和G同时到达b点。
但由前提条件已知：G的速度是R的速度的两倍，所以在任意的一个大于0的区间里，G必然是比R先到达b点的，所以要想使R和G同时到达b点是不可能的，否则便会有一倍的速度等于两倍的速度，或者是低速运动的物体能追上高速运动的物体，这在逻辑上是解释不通的。
所以，由逻辑推论出来的结果便是：R永远也不能到达b点，但这明显是一个悖论。

elim

"但是：由于狗的速度与人的速度是不相同的，所以要使人和狗同时到达另一点，这是不可能的，这就如同说是一倍的速度等于两倍的速度，或者说是低速与高速同速。"


这个论断是错误的。这里没有“一倍的速度等于两倍的速度”，而是一倍的速度向单一方向运动和两倍的速度往返振荡等效。而后者在数学上是可能的。

门外汉

elim 发表于 2015-4-22 03:22
"但是：由于狗的速度与人的速度是不相同的，所以要使人和狗同时到达另一点，这是不可能的，这就如同说是一 ...

您再好好想一下，我觉得您还是没完全看懂。看7楼吧。

门外汉

elim 发表于 2015-4-22 03:22
"但是：由于狗的速度与人的速度是不相同的，所以要使人和狗同时到达另一点，这是不可能的，这就如同说是一 ...

简单的说就是：当狗跑回到人这一端时，人与终点的距离必大于0（否则狗不能往回跑），接下来便是狗与人以相同的方向往终点跑，由于二者的速度不相同，所以二者必然不能同时到达终点。