图的最小完全同态的亏格

雷明85639720

图的最小完全同态的亏格
雷  明
（二○一五年四月二十八日）

任何图通过同化最后都可以得到一个顶点数最少的最小完全同态，该同态的顶点数就是原图的色数。现在要问这个同态的亏格与原图的亏格是什么关系。
图的亏格是其可嵌入的曲面的最小亏格，那么亏格是n的图一定是嵌入在亏格为n的曲面上的图。该图的同化是在亏格为n的曲面上进行的，最后得到的最小完全同态也一定是嵌入在亏格是n的曲面上的图。我们知道K5的亏格是1，其最小完全同态就是原图K5本身，其亏格也应是1；而K3,3的亏格也是1，但其最小完全同态却是K2，亏格却是0；这就说明图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的。但图的最小完全同态的亏格有没有大于原图的亏格的情况呢。我们用反证法进行证明。
假设一个任意图的最小完全同态的亏格是大于原图的亏格的，即n同态＞n原图，那么该完全同态可嵌入的曲面的最小亏格应为n同态曲面＝n同态，而原图可嵌入曲面的最小亏格应是n原图曲面＝n原图。由于n同态＞n原图，似乎也应有n同态曲面＞n原图曲面，但这是不可能的。按理把最小完全同态按原同化时的反方向展开后，就可得到同化前的原图。但这里所得到的“原图”可嵌入的曲面的最小亏格却变成了n同态贡面，而大于n原图曲面，导致出现了把最小完全同态按原同化时的反方向展开后的图的亏格与原图亏格不相同的矛盾，即n“原图”≠n原图。说明原假设的任意图的最小完全同态的亏格可以大于原图的亏格是错误的，必须否定。所以就有任意图的最小完全同态的亏格一定小于等于原图的亏格的结论。
根据以上的结论，任何亏格为n＝0的平面图的最小完全同态的亏格也一定仍然是等于0的，也即任何平面图的最小完全同态一定都是平面图。平面图中只有K1，K2，K3，K4四种完全图，其顶点数分别是1，2，3和4，都不大于4。由于图的色数等于其最小完全同态的顶点数，所以也有平面图的色数都是不会大于4 的结论。这就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一五年四月二十八日于长安

注：该文于二○一五年四月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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