扩充的素数域中的2个数的和的分布

白新岭

哥德巴赫猜想是偶数在素数域中不定方程x+y=2n的素数解的组数问题，现在我们把2p也放进去，p为素数，在这种集合中，所有大于3的自然数都有解。

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自然数        →        统计        →        自然数        →        统计        →        自然数        →        统计
4        →        1        →        1000        →        84        →        9901        →        210
5        →        2        →        1001        →        68        →        9902        →        195
6        →        3        →        1002        →        74        →        9903        →        430
7        →        4        →        1003        →        46        →        9904        →        314
8        →        5        →        1004        →        65        →        9905        →        358
9        →        6        →        1005        →        110        →        9906        →        424
10        →        5        →        1006        →        35        →        9907        →        216
11        →        4        →        1007        →        30        →        9908        →        315
12        →        5        →        1008        →        140        →        9909        →        436
13        →        6        →        1009        →        44        →        9910        →        268
14        →        5        →        1010        →        52        →        9911        →        250
15        →        6        →        1011        →        82        →        9912        →        756
16        →        8        →        1012        →        76        →        9913        →        236
17        →        8        →        1013        →        44        →        9914        →        199
18        →        6        →        1014        →        78        →        9915        →        556
19        →        6        →        1015        →        70        →        9916        →        330
20        →        7        →        1016        →        64        →        9917        →        230
21        →        8        →        1017        →        86        →        9918        →        448
22        →        5        →        1018        →        39        →        9919        →        280
23        →        6        →        1019        →        42        →        9920        →        444
24        →        10        →        1020        →        168        →        9921        →        422
25        →        8        →        1021        →        44        →        9922        →        224
26        →        7        →        1022        →        38        →        9923        →        218
27        →        8        →        1023        →        100        →        9924        →        624
28        →        9        →        1024        →        66        →        9925        →        272
29        →        8        →        1025        →        66        →        9926        →        244
30        →        8        →        1026        →        84        →        9927        →        444
31        →        6        →        1027        →        46        →        9928        →        338
32        →        8        →        1028        →        63        →        9929        →        218
33        →        12        →        1029        →        102        →        9930        →        532
34        →        7        →        1030        →        50        →        9931        →        212
35        →        6        →        1031        →        42        →        9932        →        350
36        →        14        →        1032        →        118        →        9933        →        592
37        →        8        →        1033        →        42        →        9934        →        205
38        →        5        →        1034        →        42        →        9935        →        276
39        →        10        →        1035        →        114        →        9936        →        644
40        →        12        →        1036        →        76        →        9937        →        228
41        →        10        →        1037        →        44        →        9938        →        207
42        →        10        →        1038        →        80        →        9939        →        416
43        →        10        →        1039        →        38        →        9940        →        510
44        →        11        →        1040        →        86        →        9941        →        224
45        →        14        →        1041        →        94        →        9942        →        402
46        →        7        →        1042        →        43        →        9943        →        216
47        →        8        →        1043        →        50        →        9944        →        362
48        →        18        →        1044        →        128        →        9945        →        666
49        →        10        →        1045        →        66        →        9946        →        225
50        →        10        →        1046        →        39        →        9947        →        278
51        →        14        →        1047        →        80        →        9948        →        624
52        →        11        →        1048        →        62        →        9949        →        218
53        →        10        →        1049        →        52        →        9950        →        254
54        →        10        →        1050        →        116        →        9951        →        438
55        →        8        →        1051        →        42        →        9952        →        300
56        →        10        →        1052        →        65        →        9953        →        230
57        →        14        →        1053        →        100        →        9954        →        496
58        →        7        →        1054        →        48        →        9955        →        314
59        →        6        →        1055        →        56        →        9956        →        318
60        →        20        →        1056        →        138        →        9957        →        442
61        →        8        →        1057        →        52        →        9958        →        210
62        →        7        →        1058        →        38        →        9959        →        216
63        →        16        →        1059        →        90        →        9960        →        856
64        →        16        →        1060        →        82        →        9961        →        242
65        →        14        →        1061        →        48        →        9962        →        226
66        →        14        →        1062        →        74        →        9963        →        450
67        →        10        →        1063        →        48        →        9964        →        314
68        →        11        →        1064        →        82        →        9965        →        304
69        →        16        →        1065        →        114        →        9966        →        434
70        →        10        →        1066        →        48        →        9967        →        206
71        →        8        →        1067        →        40        →        9968        →        380
72        →        20        →        1068        →        122        →        9969        →        440
73        →        10        →        1069        →        36        →        9970        →        278
74        →        9        →        1070        →        50        →        9971        →        238
75        →        18        →        1071        →        104        →        9972        →        622
76        →        15        →        1072        →        68        →        9973        →        208
77        →        14        →        1073        →        54        →        9974        →        185
78        →        16        →        1074        →        80        →        9975        →        716
79        →        10        →        1075        →        60        →        9976        →        340
80        →        14        →        1076        →        67        →        9977        →        246
81        →        18        →        1077        →        90        →        9978        →        392
82        →        9        →        1078        →        54        →        9979        →        232
83        →        8        →        1079        →        48        →        9980        →        440
84        →        26        →        1080        →        168        →        9981        →        426
85        →        16        →        1081        →        36        →        9982        →        270
86        →        11        →        1082        →        39        →        9983        →        216
87        →        16        →        1083        →        86        →        9984        →        674
88        →        16        →        1084        →        63        →        9985        →        282
89        →        14        →        1085        →        76        →        9986        →        205
90        →        20        →        1086        →        80        →        9987        →        420
91        →        10        →        1087        →        46        →        9988        →        342
92        →        15        →        1088        →        62        →        9989        →        262
93        →        22        →        1089        →        92        →        9990        →        540
94        →        9        →        1090        →        52        →        9991        →        224
95        →        10        →        1091        →        42        →        9992        →        330
96        →        26        →        1092        →        156        →        9993        →        440
97        →        12        →        1093        →        42        →        9994        →        196
98        →        8        →        1094        →        45        →        9995        →        278
99        →        20        →        1095        →        108        →        9996        →        798
100        →        20        →        1096        →        60        →        9997        →        224
101        →        12        →        1097        →        50        →        9998        →        197
102        →        16        →        1098        →        82        →        9999        →        470
103        →        12        →        1099        →        54        →        10000        →        408
这是2位数，3位数，4位数的部分自然数的实际解数，即不定方程x+y=n的解的组数，x，y必须是素数或2倍的素数2P.  它的变化规律与哥德巴赫猜想的素数解一样，有波动性，只是在素数因子2上，不一致，因子2使每个偶数比奇数的要多，每个偶数需乘10/9,每个奇数需乘8/9,  另外前边的常数是孪生素数常数，也不在乘2，后边的主项也有改变，需乘9/4,这是因为符合条件的元素个数增多的结果。

白新岭

公式0.660161815846869*∏((P-1)/(P-2))*(n前素数个数+n前2P的个数）^2/n,   当n是偶数时乘10/9,奇数时乘8/9。连乘积中的P是根号n前的素数，且能整除n。 这样计算出来的结果总累计值大于实际统计值，在10000以内平均多1.6个。10000以内统计累计值为2044424组解，而公式结算结果累计值为2060829组解，相差16405组解（绝对误差），相对误差0.8%.
如果用素数定理代替n前符合条件的元素个数，则计算结果偏差很大，10000以内公式计算值累计为1585948组解，公式为0.660161815846869*∏((P-1)/(P-2))*（（n/2)/ln(n/2)+n/ln(n)  )^2/n,当n是偶数时乘10/9,奇数时乘8/9,连乘积中的P是根号n前的素数，且能整除n。
把后边用素数定理代替符合条件元素的个数的公式，稍微处理变通一下可以用0.660161815846869*9/4*∏((P-1)/(P-2))*n/(ln（n）-ln2）^2,当n是偶数时乘10/9,奇数时乘8/9,连乘积中的P是根号n前的素数，且能整除n。
用此公式得到的解的组数累计值为1766563，偏差仍然很大，究其原因是素数定理不能很好的反应素数的个数。

重生888@

10000有408对解，这也太大了吧？

白新岭

如果规定x<y的话（即无顺序的情况下）是204组解，为了统一计算公式，上边给的解都是有序的。

白新岭

如果规定x<y的话（即无顺序的情况下）是204组解，为了统一计算公式，上边给的解都是有序的。