实数 x,y 满足 x^2+2xy+2y^2=4 ，求 xy 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

實數 x,y 滿足 x^2+2xy+2y^2=4, 則xy之最小值為?

解:

設 x+y=a, xy=b, 則由x^2+2xy+2y^2=4  >> (x+y)^2+y^2=4  >>  a^2+b^2=4

故可以知道 上述是一個圓， (-2) <=  b=xy  <= 2

請問這樣的解法邏輯上是錯在哪裡?

Ans: -2√2-2 <=xy<= 2√2-2

中国上海市

(x+y)^2+y^2=4
(x+y)^2=4-y^2≥0
∴y∈[-2，2]
设y=2sint  t∈[-π/2，π/2]
由x^2+2xy+2y^2=4
得
   x1=-y+√4-y^2=-2sint+2cost
   x2=-y-√4-y^2=-2sint-2cost
   x1y=(-2sint+2cost)2sint=-4(sint)^2+4sintcost=-2+2cos2t+2sin2t=-2+2√2sin(2t+π/4)∈[-2-     2√2,-2+2√2]
同理：x2y=(-2sint-2cost)2sint=-4(sint)^2-4sintcost=-2+2cos2t-2sin2t=-2+2√2cos(2t+π/4)∈[-2-     2√2,-2+2√2]
∴xy∈[-2-2√2,-2+2√2]

luyuanhong

谢谢楼上 中国上海市 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。