5 个不同的入口处，每个入口处每次只能进一人，6 人进站，有几种不同的进站方法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

波斯猫猫

1，若不考虑6个人的进站顺序，因在6个人中，每个人都有5种不同的进站方法，由乘法原理知，共有5＾6种不同的进站方法。
2，若考虑进站顺序，即先把6个人编上号，则共有（5＾6）×6！种不同的方法。
仅供大家讨论、参考。

luyuanhong

考虑进站顺序，没有像上面想的那样简单：

如果 6 人在同一入口进站，考虑顺序，确实要乘以 6！ 。

但是如果 6 人分成 3 人一组，从 2 个入口进站，考虑顺序，则要乘以 3！3！ 。

如果  6 人分成 2 人一组，从 3 个入口进站，考虑顺序，则要乘以 2！2！2！ 。

…………，所以情况很复杂。

波斯猫猫

考虑进站顺序：第1步，6个人有6！种不同的排法（不能考虑入口处，比如在候车厅排队）；第2步，因这6个人每个人都有5种不同的进站方法（必须考虑入口处，每个人可自由选择入口处，即已涵盖所有分类或分组），故共有5＾6种不同的进站方法；3，据乘法原理，不同的进站方法共有6！×5＾6种。
仅供大家讨论，参考。

luyuanhong

下面举个例子说明为什么楼上的计算方法不对：

先对 6 个人作排列，这时 123456 与 456123 是两种不同的排列。

当排列为 123456 时，123 依次从 1 号口进入，456 依次从 2 号口进入；

当排列为 456123 时，456 依次从 2 号口进入，123 依次从 1 号口进入。

上面两种进入方式，实际上是没有区别的，只能算是一种进入方式，

但是按照楼上的计算方法，就要算作两种不同的进入方式。

所以，简单地认为有几种 6 个人的不同排列，进入方式就要乘以几倍，是不对的。

luyuanhong

ataorj

可以认为各个入口是独立的,入口间无所谓进人次序,但是单独各个入口的进人却有次序差别.则题目就是求6人在5个入口的排队方案数.
先挑选第1个人,有6种选择,他有5个入口5个位置可供安排,6*5
挑选第2个人,有5种选择,他有5个入口5*2个位置可供安排,5*5*2
挑选第3个人,有4种选择,他有5个入口5*3个位置可供安排,4*5*3
4----3*5*4
5----2*5*5
6----1*5*6
所以共有进站方法:
6*5*5*5*2*3*5*4*2*5*5*1*5*6=135000000

ataorj

露乘了4*5*3
6*5*5*5*2*4*5*3*3*5*4*2*5*5*1*5*6=8100000000

ataorj

更正:
解  可以认为各个入口是独立的,入口间无所谓进人次序,但是单独各个入口的进人却有次序差别.则题目就是求6人在5个入口的排队方案数.
先挑选第1个人,有6种选择,他有5个入口5个位置可供安排,6*5
挑选第2个人,有5种选择,他有5个入口5+1个位置可供安排,5*6
挑选第3个人,有4种选择,他有5个入口5+2个位置可供安排,4*7
4----3*8
5----2*9
6----1*10
6*5*5*6*4*7*3*8*2*9*1*10=108864000

ataorj

我上面解答有问题,通常不容易被我意识到,也留着供别人借鉴.
再次更正:
解  可以认为各个入口是独立的,入口间无所谓进人次序,但是单独各个入口的进人却有次序差别.则题目就是求6人在5个入口的排队方案数.
每次新安排一个人,先放到入口尾端,这有5种放法,也可放到已经排队各入的前面[这就是插队].所以有5+已经排队人数个位置可供安排他.

先随便挑选第1个人,有6种选择,但是我们只是认为只能算是1种选择,因为后来人允许"插队",实际并不能体现出谁是第一个被安排的,就是说,如果现在6种选择非要做*6看待就会产生重复计数的问题.第1个人有5个入口共5个位置可供安排:5[注意,不是6*5]
挑选第2个人,有5种选择,他有5个入口共5+1个位置可供安排:6[注意,不是5*6]
挑选第3个人,有4种选择,他有5个入口5+2个位置可供安排:7[注意,不是4*7]
4----8
5----9
6----10
所以不同的进站方式总数为:
5*6*7*8*9*10=151200
====================
实例,比如,3人2站:

2*3*4=24:[-分隔,上下对应为一组]
1站:1--2--3--1--2--3-32-13-21-23-31-12
2站:23-13-12-32-31-21-1--2--3--1--2--3

1站包揽:123-132-213-231-312-321
---2站:--------------------

---1站:--------------------
2站包揽:123-132-213-231-312-321

12+6+6=24