“依测度收敛”概念的一个问题

fm1134 · 发表于 2015-5-4 16:23

本帖最后由 fm1134 于 2015-5-4 08:24 编辑

原来的“依测度收敛概念的一个问题”帖子表述不大清楚，故重发此帖。

fm1134 · 发表于 2015-5-5 15:36

这个题目是程其襄《实变函数与泛函分析基础》（第2版）第四章第四节“依测度收敛”（第93页）中的例题2，如果我帖子的表述还不清楚的话，可以参见该书。
该书中对于此题的解答颇令人费解，本题目中，limE[｜fn-f｜＞ σ] （n→∞）=∞-∞=不定值，怎么能依此来判定fn依测度收敛于f呢？

elim · 发表于 2015-5-6 00:41

fm1134 · 发表于 2015-5-6 04:22

........

elim · 发表于 2015-5-6 09:42

对每个 n ， mE_n 都是无穷，所以 n 趋于无穷的极限也是无穷。

当你把全部过程都严格按定义推演时，你那个行 .... = 不定值是不成立的。

你的那个极限再怎么也不等于区间 (∞, ∞) 么，另外, mEn = ∞ - n = ∞
不是什么不定式，其极限也不是不定式。

fm1134 · 发表于 2015-5-6 14:33

elim 发表于 2015-5-6 01:42
对每个 n ， mE_n 都是无穷，所以 n 趋于无穷的极限也是无穷。

还有疑问

elim · 发表于 2015-5-6 23:55

fm1134 发表于 2015-5-5 23:33
还有疑问

无穷减去有限数是无穷，不是不定式。

fm1134 · 发表于 2015-5-7 00:49

elim 发表于 2015-5-6 15:55
无穷减去有限数是无穷，不是不定式。

当取极限后，即：n→∞时，就成了无穷减无穷了，无穷减无穷不是不定式，还能是什么呢？

elim · 发表于 2015-5-7 02:45

fm1134 发表于 2015-5-6 09:49
当取极限后，即：n→∞时，就成了无穷减无穷了，无穷减无穷不是不定式，还能是什么呢？

你那个取极限对被减数是变量的情况才正确。对这个题目， ∞ - n = ∞, 取极限这这里不满足分配律。

你可以复习一下取极限的分配律成立的条件。

用极限的定义可以证明 ∞ - n 当 n 趋于无穷时的极限是 ∞. （其实我已经帮你证过这点，但你没注意）

fm1134 · 发表于 2015-5-7 03:51

本帖最后由 fm1134 于 2015-5-6 19:52 编辑

elim 发表于 2015-5-6 18:45
你那个取极限对被减数是变量的情况才正确。对这个题目， ∞ - n = ∞, 取极限这这里不满足分配律。

你 ...

你所说的取极限的分配律成立的条件是指lim[g(x)+h(x)]=limg(x)+limh(x)中，要求“limg(x)和limh(x)都存在”这个条件吗？

		自动登录	找回密码
密码			注册