经过圆内定点互相垂直的两条弦的平方和是定值

ccmmjj

如图，Ｐ是直径为d的圆内一定点，过Ｐ的两弦ＡＢ、ＣＤ互相垂直，求证：ＡＢ^2+ＣＤ^2是定值。

证明：由圆幂定理，经过Ｐ点的弦被Ｐ分成的两线段之积为定值＝ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤ，此定值命名为p^2。
        ＡＢ^2+ＣＤ^2=(ＰＡ+ＰＢ)^2+（ＰＣ+ＰＤ）^2
                              ＝ＰＡ^2+ＰＢ^2+2ＰＡ×ＰＢ+ＰＣ^2+ＰＤ^2+2ＰＣ×ＰＤ
                               =(ＰＡ^2+ＰＢ^2+ＰＣ^2+ＰＤ^2）+2(ＰＡ×ＰＢ+ＰＣ×ＰＤ）
　　　　　　　　　　＝d^2+4p^2
参考“http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1”
两定值之和当然是一定值，故证毕。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

Future_maths

luyuanhong

楼上 Future_maths 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。