关于 Σ((p,q,u,v,w)∈N^5) pquvw/(p+q+u+v+w)! 问题的评注

elim

为了避免用 e 表示自然数变量, 使用 p,q,u,v,w 而不用 a,b,c,d,e。

首先，N 是全体自然数的集合。自然数由皮亚诺公理刻划，N 的存在性由无穷公理表述。
这么说很抽象，貌似很深奥，其实就像几何公理一样，专进去很深，但从事几何只要接
受几何公理就行。同样地，从事算术，只要接受集合论以及有关公理即可。皮亚诺公理,
无穷公理, 只是人们对自然数的朴素认识的理论概括和严格化而已。

算术，几何公理都是建筑在实无穷基础上的。实无穷是且只是非有限集合的共性。具体
到自然数, 它是指集合 N 有无穷多元素(即自然数无穷多), N 含有每个自然数且只含有自
然数. 所以 N 是既定的, 不随时间而变. 实无穷是观念的存在, 不以人的实践(例如书写和
枚举)的有限性而转移.  所谓集合, 说白了就是外延确定不变，逻辑自洽的概念。

实践不能遍历无穷集合不等于数学一概不能遍历无穷集合。命题“[0,1]关于乘法封闭"的
证明就是对实无穷 [0,1] 的一种逻辑或数学意义上的遍历。

用 N^k 表示集合 {(n_1,...., n_k) | n_j ∈N, j=1,...,k}.   于是对 T(a,b) = ab/(a+b)!, 级数
Σ((u,v)∈N^2) uv/(u+v)! 就是下列数阵

T(1,1), T(1,2), T(1,3), ........
T(2,1), T(2,2), T(2,3), ........
T(3,1), T(3,2), T(3,3), ........
..........................................

的元素的和。

现定义正项级数 Σ a(n) 和, 将 a(n) 对应区间 I(n) =[s(n-1), s(n)), (s(n) = a(1)+...+a(n)).  
定义 m([a,b)) = b-a.   定义 Σ a(n) = m(∪ I(n)) 即 Σ a(n)  是小区间连接而成的区间的长度.
由于集合的并(这里的连接）不存在参与项的数目的限制，这个定义是合理, 无歧义,且可行
的. 不难证明，这个定义等价于 Σ a(n) = sup{s(n) | n∈N} = lim s(n).

定义可以进一步推广到一般的级数和: 若 {s(n)} 收敛即 lim s(n) 存在，则 Σ a(n) = lim s(n).
至此知道, 经典数学的级数理论没有 jzkyllcjl 捏造的问题。而 jzkyllcjl 的曲解诽谤才是问题。

不难证明, 正项级数和不随加项排序的改变或加括号而变。所以 Σ((u,v)∈N^2) uv/(u+v)!
是定数，且 Σ((u,v)∈N^2) uv/(u+v) = T(1,1)+(T(1,2)+T(2,1))+(T(1,3)+T(2,2)+T(3,1))+...
=Σ_(n>1) (1(n-1)+2(n-2)+...+(n-1)1)/n! =Σ_(n>1) (n^3-n)/(6n!) =Σ_(n∈N) (n^3-n)/(6n!)
= (2/3)e

至此，概念和理论都有了交代，接着细说技术问题。

elim

再多一点感性认识：

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

elim 发表于 2019-1-5 08:48
再多一点感性认识：

elim ！ 再多一点感性认识。就是后面的一步卡住了！谢谢elim ！

elim

王守恩 发表于 2019-1-6 03:18
elim ！ 再多一点感性认识。就是后面的一步卡住了！谢谢elim ！

告诉我下面哪一步过不去。


要正确把握求和号的意义。

王守恩

elim 发表于 2019-1-6 23:46
告诉我下面哪一步过不去。

elim！琢磨不出来，真不好意思问，谢谢！
第1行3组求和符号：第1组与第3组不懂，
第2行3组求和符号：第1组与第3组不懂，
第3行2组求和符号：没有问题。
关键问题您说对了：正确把握求和号的意义！

elim

王守恩 发表于 2019-1-7 01:24
elim！琢磨不出来，真不好意思问，谢谢！
第1行3组求和符号：第1组与第3组不懂，
第2行3组求和符号：第 ...

第二行第一个求和号看不懂是比较严重的事情。解释在主贴。主贴非常重要。
可以说看不懂主贴的人高等数学没法学好。高等数学学得很好的人也没有多少
可以写出主贴这种帖子。

好好看什么是  N^k,  看懂那个数阵。再好好看看二楼。