就扩缩运算与许进老师商榷

雷明85639720

就扩缩运算与许进老师商榷
雷  明
（二○一五年五月十一日）

许进老师在他的《极大平面图结构与着色理论研究》的第一部分《结构与着色关系研究》中主要讲的是研究如何生成极大平面图以及极大平面图的结构与着色的关系问题。讲了图的扩缩运算和树与圈的着色问题。大概画了1136个图。我试图想把它看完，但越看不想再看，最终还是没有看完。我也不想再看了。因为我没有象专门研究数学的那么多人用几年的时间去研究你的文章。我只想就以下几个问题与许进老师商榷。
1、我们平常说的极大图就是所在面都是三边形的平面图。这种图如果再在其中增加一条边，图都将变成非平面图。极大图本身就是客观存在的，不需要研究它如何生成也总是存在的。你画了那么多的图，不还都是所有面都是三边形面的平面图吗。
2、你的扩缩运算我觉得与着色之间没有什么关系，运算的结果把原图都变样了，还能得到它应有的着色数吗。首先要根据着色的需要再提出图的运算，而你在未谈及着色之前就大谈图的扩缩运算，是不是为时过早了点。你研究极大平面图的结构与着色的理论，其目的不仍是企图要对四色猜测进行证明吗。要根据证明或者着色的需求再提出图的某种新的运算方法，这样可能就理容易被读者所接受。
3、图着色时不相邻的顶点可以使用相同的颜色，而不相邻的顶点也可以划分到同一个顶独立集内。这样就可以把图的顶点着色与顶独立集划分联系起来了。同一个顶独立集内的顶点可着同一颜色是因为他们在图中均是不相邻的顶点，不同的顶独立集不能着同一颜色是因为其中至少有一个顶点是与别的一个顶独立集中至少有一个顶点是相邻的。
4、任何图都有一个数目最少的顶独立集数量，而图的顶点着色也有一个相应的最少颜色数目。这就把图的色数与最小顶独立集数联系起来了。实际上图的色数就等于图的最小顶独立集数。
5、一个完全图Kn的色数就等于它的顶点数n。由于图的各个顶独立集内的顶点均可着同一颜色，所以图的最小顶独立集数是多少，原图着色就得用多少种颜色。由这些顶独立集所构成的图也是一个完全图，该完全图的色数也就是图的最小顶独立集数，也是原图的色数。
6、为了求得图的最小顶独立集数，我们引入一个新的图的运算概念——同化。所谓同化，就是把不相邻的顶点凝结到一起的过程，这一过程实际上就是在不相邻顶点间进行的“收缩”，为了区别相邻顶点沿边进行的收缩，我才把不相邻顶点间的“收缩”叫做同化。
7、一个图通过一系列的同化运算，最后都可以得到一个完全图，这就是原图的完全同态。由于进行同化运算的人不同，即就是同一个人而每次同化的方法不同时，都可得到顶点数不同的完全同态，但其中必有一个顶点数是最少的，这就是原图的最小完全同态。这个完全同态中的每个顶点代表着原图中若干个互不相邻的顶点，也就是一个顶独立集。最小完全同态的顶点数也就是图的最小顶独立集数。
8、为了获得原图的最小完全同态，同化时要遵守一定的规则，这就是进行同化的两顶点间的距离最短。即两顶点虽不相邻，但从其中一顶点到另一个顶点时，中间只能有一个其它顶点。如一个有四个顶点的道路，若把顶点1和4同化在一起后，就得到一个K3图，如果把顶点1和3，顶点2和4分别同化在一起，则得到的是一个K2图，其中K2图是P4道路的最小完全同态，因为其顶点数是最少的。
9、从以上的讨论可以看出，图的色数就是其最小顶独立集数，而图的最小顶独立集数又是图的最小完全同态的顶点数。所以图的色数也就是图的最小完全同态的顶点数。只要求出了图的最小完全同态其及顶点数，就求得了图的色数。
10、拓扑学的研究可以证明任何图的最小完全同态——也是一个完全图——的亏格，一定不会大于原图的亏格，也就是说其亏格只能小于或等于原图的亏格。而平面图的亏格是0，所以平面图的最小完全同态的亏格也只能是0，仍然是平面图。在平面图中，完全图K1，K2，K3，K4（K5就成非平面图了，亏格也就成了1而不是0）的顶点数都是小于等于4 的。这就可以证明四色猜测是正确的。
11、任一个图中都有一个顶点数最多的团（即最大团，其顶点数就是图的密度），该团中所有的顶点均相邻，是不可能再同化的。所以图同化的最后结果——最小完全同态的顶点数一定是不会小于最大团的顶点数的，即不会小于图的密度。例如，5—轮的密度是3（5—轮中的最大团是K3团，顶点数是3），但5—同化结果的最小完全同态却是K4图，顶点数是4而不是3。
12、只所以5—轮同化的结果是一个K4，是因为5—轮中任何一个K3团外的其他顶点所构成的道路中总有一个顶点是不可能同化到K3团中去的，这样的总有一个顶点同化不到最大团中去的道路，就叫不可同化道路。有一条不可同化道路就有一个顶点不能同化到最大团中去，该不可同化的顶点与最大团构成了一个更大的团，所以5—轮的最小完全同态是K4，顶点数是4，所以5—轮的色数也是4。
13、如果有多条不可同化道路构成联时，则就有与其条数相同的顶点数同化不到最大团中去，但不可同化道路的条数不能大于图的密度的一半。因为由这些不可同化道路构成的联中的最大团的顶点数是其条数的2倍，但该团的顶点数是不能大于图的密度的，所以构成联的不可同化道路的条数是不能大于图的密度的一半的。否则，图的最大团和密度就会发生变化。
14、已知平面图的密度是不大于4 的，即平面图中最大团的顶点数是不会大于4 的，所以同样是平面图的平面图的最小完全同态的密度，也即该完全同态的顶点数也是不会大于4的。这就是说最大团的顶点数加上不可同化的顶点数是必须小于等于4的。
15、按14和15中的条件，密度是1和4的图中都不可能有不可同化道路，密度是2和3的图中如果有不可同化道路，也都只可能出现一条。它们都是既满足不可同化道路的条数不大于图的密度的一半，又满足最大团的顶点数加上不可同化的顶点数——即最小完全同态的顶点数——也不大于4。这也就证明了四色猜测是正确的。
16、因为图的色数就等于图的最小顶独立集数，为了求得图的最小顶独立集数，虽然我这里引入了同化的运算，而得到了图的最小顶独立集数就是图的最小完全同态的顶点数。但是在证明过程中并没有对任何图去进行同化，也没有真正的求出某一个图的最小完全同态及最小顶独立集数。就可以说明任何平面图的色数都是不大于4 的。
17、由以上各点可以看出，要引入一个新的运算，首先必须是为了解决某种问题的需求，而不能无目的的去乱引入新的运算。引入新的运算只是为了说明问题的方便，增加说服力，在证明的过程中并不一定要去进行实际的运算操作。我这里的确没有进行过作何一次同化的操作。
18、许进老师引入了那么多的扩缩运算，画了那么多的图，着了那么多的色，写了那么长的论文，最后还没有说明四色问题道底是否正确的问题。为什么，他引入新的运算的目的不明确，不知是要干什么。我想决不只是为了生成极大图，极大图就是极大图，根本不需研究什么生成的问题。就极大图而言，你能画完吗，永远也“生”不完。既然生成不完，那么画那么多极大图有什么用呢，还不如不画。
19、许进老师与徐俊杰先生犯有同样的毛病，都画有大量的图（徐俊杰先生画了574个图），但这些图又不能说明什么问题。许进老师画的是极大平面图，而徐俊杰先生则画的是3—正则图（即三次平面图）。二者的实质是相同的，因为许进老研究的极大平面图的顶点着色实质上就等于徐俊杰先生研究的给三次平面图（地图）的面着色。我所看到的文献资料中这两个文献中画图是最多的。
20、图永远也是画不完的，因为图的种类是无穷多的。正是因为这个原因，我才提出了“不画图，不着色证明四色猜测”的思想方法。我的实践也证明了这一点，用“不画图，不着色”的方法是可以证明四色猜测是正确的，而且证明的方法也很多，并不只是一种，且证明的过程也很短，容易被读者理解和接受。

  
雷  明
二○一五年五月十一日于长安

注：本文已于二○一五年五月十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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