泰特猜想正确吗？

雷明85639720

泰特猜想正确吗？
雷  明
（二○一五年五月十三日）

前几天我在这里发表了几篇文章，谈及泰特猜想的问题。看来还有必要再写一篇文章进一步的阐明自已的观点。
韦斯特的书《图论导引》中说：“1878年，Tait证明了一个定理，该定理将平面图中的面着色和边着色联系起来，他用这个定理来处理四色问题。”这里书中所说的时间可能有误，应该是1880年，因为泰特对四色猜测的的“证明”是在坎泊（1879年）之后的。
书中对定理是这样表述的：“7.3.2定理（Tait［1878］） 一个2—边连通3—正则平面图是3—边可着色的当且仅当它是4—面可着色的。”请注意，这里的“它”只是指的2—边连通3—正则的平面图。
网友“太平天下”认为泰特“定理”的英文原文译成中文应为：无桥的三次平面图 G 是 4—面可着色的，当且仅当 G 是 3—边可着色的。”（徐俊杰先生的《数学四色猜测证明》一书中是“四色问题成立，当且仅当每一个三次平面图都是三边着色的。”）这里“太平天下”说的是都是指三次平面图，而徐俊杰先生一下子把其适用范围从三次平面图扩大到了任意的平面图。
后“太平天下”又发贴补充说泰特“定理”即“如果无桥的 3—正则平面图（正规地图）是 3—边着色的，则任意平面图是 4—面可着色的！”这里“太平天下”也把该“定理”的适用范围扩大到了任意的平面图。
以上的几种关于所谓的泰特“定理”的表述方式，我认为“太平天下”的表述方式最容易叫人理解他所表达的泰特“定理”的内容。对一个命题要认为它的正确与否，首先必须能了解它，只有知道了它在说什么，才能决定自已是否认为它是正确还是错误。如果从文字上都不能理解，盲目的去认为它是正确或是错误，都是一种对自已不负责任的态度。我想这样的人在数学界可能还是为数不少的。他们对一个命题不去证明，可能也不会证明，就一味的认为该命题是正确的，这也是对科学事业不负责任的态度。
韦斯特对三次平面图都是可3—边着色的证明虽得出的结论是肯定的，但我认为他的证明方法有问题，很难理解，也不容易被读者所接受；他对其逆命题的证明更是难以理解，也并没有得出任意平面图都是4—面可着色的结论，而只得出了“故在我们构造的面着色中”，相邻的两个面“F和F＇获得了不同的颜色”。难道这还要进行证明吗，这不就是着色的起码要求吗。得出了这样的结论还能在书中说“我们断言，这是一个真4—面着色”吗。
韦斯特把“3—正则图的真3—边着色”称作“Tait着色”。并认为“证明任意2—边连通3—正则图是3—边着色的即归约成证明任意3—连通3—正则可平面图是可3—边着色的。”最后他说：“这样，四色定理就归约为寻找3—边连通3—正则可平面图的Tait着色。对Tait着色存在性的论断就是Tait猜想，它与四色定理等价。”看来泰特在这里提出的问题还只是作为一个猜想，而不是一个“定理”。这个猜想是否成立，还是一个迷，所以还不能把它当成一个“定理”，更不能直接使用。
要证明3—正则平面图都是可3—边着色的，首先要看到这是对3—正则平面图的边着色，也就是对其线（边）图的顶点着色。由于3—正则平面图的最大度是3（所有顶点的度都是3），所以其线图中的最大团一定是一个K3团，且是一个4—正则图（3—正则图的每一条边分别与该边两侧的两个面的两条边相连，共四条边），该线图中没有轮，所有的面均是圈。
这样3—正则平面图的线图的顶点着色的色数就只能是3。一是K3团的三个顶点分别要点用一种颜色，共三种；二是图中可能还有边数大于3的奇圈，着色也得点用三种颜色；三是图中没有轮，不可能出现奇轮的中心顶点再用第四种颜色的可能性。所以3—正则平面图的线图的顶点着色的色数一定是3，也就是说3—正则平面图的边着色的色就也一定是3。这就证明了3—正则平面图一定是可3—边着色的。
3—正则平面图（即地图）的对偶图就是一个极大图，3—正则图的面着色（即地图着色）就是对其对偶图（极大图）的顶点着色。如果极大图的色数是不大于4 的，那么对极大图进行去点和去边后所得到的任意平面图的色数也绝不会大于4 。但极大图的顶点着色的色数是否是不大于4 的，这与3—正则平面图的可3—边着色又有什么关系呢，或者说与一个最大团是K3（即密度是3）的4—正则平面图的顶点着色是什么关系呢。他们虽都是平面图，但一个只是4—正则的平面图，只是平面图中的一部分；而另一个却是极大图，由其去点或去边可以得到任意的平面图。由一个适合于部分平面图的可3—着色，能进一步推得适合于任意平面图的可4—着色的结论来吗。不可能。反过来，如果说任意平面图的可4—着色得到证明是正确的，即四色猜测是正确的，才可能得出这种部分平面图（即密度是3的4—正则平面图）也一定是可4—着色的。的确，这种图的色数是3，是不大于4 的。
只能说四色猜测被证明是正确的时，才能说明泰特猜想也是正确的；而不能说只证明了泰特猜想是正确的时，就可直接得出四色猜测也是正确的。虽然泰特猜想最开始的提法都是对3—正则平面图（即地图）的，但一个是边着色，一个是面着色，其本质是不同的，所以不能相类比。因此不能说泰特猜想“与四色定理等价”。不能认为证明了3—正则平面图是可3—边着色的，就等于证明了其也就是可4—面着色的。也不能认为证明了3—正则平面图是可3—边着色的，就等于证明了任意平面图也就是可4—着色的。
适用于一般的（或者说全体的）研究对象的东西，一定能适用于某些个别的（或者说部分的）研究对象；但只适用于个别的研究对象的东西，则不一定就适用于一般的研究对象。这是一个最基本的分析问题的方法，也是一个原则，谁违背了这个原则，谁就会犯错误，就会得出与客观实际不想符的结果。
如果说泰特猜想“与四色定理等价”，那么现在要问，那位证明了泰特猜想是正确的呢。如果说泰特猜想是正确的，那不就等于说四色猜测也就被证明是正确的了吗。但现在又有那个承认从泰特猜想角度上证明了四色猜测是正确的呢。现在大家还不都正在对四色猜测进行着研究和证明吗，不都是在进行证明其是否正确吗。
如果说泰特猜想“与四色定理等价”，那么我是不是也可以这么说呢：任何是大团是K2的平面图（密度是2）都是可3—着色的（树的色数是2，含有奇圈的图的色数是3），那么能不能说也就证明了四色猜测呢。显然是不能的。因为密度为2的图只蛱面图中的一部分，不能代表全体平面图。同样的原因，证明了3—正则的平面图是可3—边着色的，也不能说就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一五年五月十三日于长安

注：此文已于二○一五年五月十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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