理想自然数集合N也是非正常集合

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定义1：虽然我们无法说清自然数的十进记数法是谁造的，但应当说它很有价值。根据这个方法，按照从小到大的顺序，可以得到下边的数列。
      0，1，2，3，…11,……                  （1）
笔者称：这个数列叫做理想性质自然数的标准序列。
笔者还认为：第一，任何其它无穷数列 ，都有它的制造法则 。其中n依次是标准无穷数列（1）中的理想自然数；第二，人们可以记包含所有自然数的理想自然数集合为：N={ 0，1，2，3，…11,…… }。第三，无穷数列、无穷集合都不是上帝造的，而是人们从实践中经过抽象、思考提出的数学概念，它们的含义都有需要联系实践联系现实的说明、澄清。首先需要知道：这里的“无穷”二字是无有穷尽、无有终了的意思，因此，上述无穷数列、无穷集合都是其元素永远无法写到底的、具有想象性质无法构造完毕的、非现实存在着的想象性质的理想性事物。
法则1：根据（1）式，可以提出以集合为元素的无穷序列
   {0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}…… （2）
同时称这个序列为：全能近似自然数集合序列；其中的每一个集合都叫做近似自然数集合。全能近似它们的趋向（或称广义极限）叫做理想自然数集合，记作N={ 0，1，2，3，…11,…… }。这个理想自然数集合的元素个数，定义为其全能近似自然数集合序列中集合元素个数序列{n}的广义极限 ；由于 可是非正常实数，所以，理想自然数集合N也叫做非正常集合，并提出如下定义。
定义2：元素个数为有限自然数，且集合本身不能作为集合元素的集合，叫做正常集合，否则，叫非正常集合。
根据这个定义， 可知： 上述集合序列（2） 中集合都是正常集合，而且正常集合有无穷多，所以就可以得到所有正常集合组成的集合是非正常集合，这就消除了罗素悖伦；我们不需要为这个悖论去建立符号语言的ZFC形式公理体系。 此外，需要知道：集合论的创始人康托儿提出的 “数学必须肯定实无穷”、“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。”[1]的观点是不深入联系实际的、违背实践的、违背事实的观点。ZFC 形式公理体系中的“无穷集合存在公理”也是违背实践的。张锦文在文献[2]提出的“康托儿给出了度量集合的基本概念：一一对应，……如果两个集合之间能建立一一对应，就叫做它们的个数相等”[2]的叙述对有限集合是正确的，但对无穷集合是错误的，因为无穷集合之间的一一对应工作无法完成。对于无穷集合使用这种方法之后就得到一个无穷集合可以与自己的真子集的元素个数相等的错误概念，这个概念是违背欧几里得的“全体大于部分”的公理8的不应有的概念。文献[2]给出的实数集合［０，１］是不可数集的定理与对于无穷集合Ｓ成立康托儿定理 的证明都是违反逻辑法则的证明，事实上，这两个定理的证明都涉及无穷次判断与排中律的应用问题，由于无穷次判断是人们无法进行到底的，所以形式逻辑中排中律与反证法不能应用（详细讨论参看文献[3]）。由此可知：无穷集合的元素个数不是定数，而是非正常实数 ，而且不能使用一一对应法则提出无穷基数，这样一来，希尔伯特1900年在巴黎在第二次国际数学年会提出的23个问题的第一个问题的 连续统假设就不能提出了，这个大难题就解决了。同时，根据无集合不能构成的性质，文献[4]中提出的涉及选择公理的争论与违反海涅(Heine)定理的怪定理[4]也是不存在的。这就是联系实践的辩证逻辑比形式逻辑的更加有效的地方之一。