转帖哥德巴赫数对

白新岭 · 发表于 2019-1-14 12:51

可以写成两个奇素数之和的偶数称为歌德巴赫数。哥德巴赫猜想任意不小于6的偶数都是哥德巴赫数。
且记偶数2n可拆成的所有素数对之集为G(2n), 比如G(16)={(3,13),(5,11)}.
如果存在(p,q)∈G(2n), 使得(2n+p,2n+q)∈G(6n)，我们就将(2n,6n)称为哥德巴赫数对，其中2n称为（哥德巴赫）对首。
请问是否除了下面这些数以外，所有6的倍数都是哥德巴赫对首？
6
48
138
192
456
522
534
558
576
696
978
1074
1086
1644
2172
2286
2316
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白新岭 · 发表于 2019-1-14 13:02

为何重点关注3倍数的偶数？
当2n不是3的倍数时

设(p,q)∈G(2n), (2n+p,2n+q)∈G(6n), 由于p, p+q, p+2q为等差数列，其中必有3的倍数，故p=3.
2n=3+q(奇素数），q，q+6, 2q+3同时为素数，这在自然数中分布的稀疏程度已近于孪生素数，可见非6n形哥德巴赫数对比较稀少。
用Excel获得前1000000偶数中有2661个非6n形哥德巴赫数对。

当计算哥德巴赫数对的分布密度时，非6n形的贡献为无穷小，故关注的重点为3倍数的偶数。

白新岭 · 发表于 2019-1-14 13:03

偶数       2n+3       4n-3
8       11       13
10       13       17
16       19       29
20       23       37
50       53       97
56       59       109
70       73       137
76       79       149
100       103       197
160       163       317
170       173       337
176       179       349
196       199       389
226       229       449
230       233       457
280       283       557
310       313       617
356       359       709
386       389       769
506       509       1009
560       563       1117
566       569       1129
610       613       1217
616       619       1229
650       653       1297
856       859       1709
1016       1019       2029
1036       1039       2069
1066       1069       2129
1120       1123       2237
1190       1193       2377
1220       1223       2437
1280       1283       2557
1430       1433       2857
1450       1453       2897
1456       1459       2909
1486       1489       2969
1546       1549       3089
1556       1559       3109
1610       1613       3217
1616       1619       3229
1666       1669       3329
1696       1699       3389
1780       1783       3557
1996       1999       3989
2066       2069       4129
2396       2399       4789
2470       2473       4937
2710       2713       5417
3166       3169       6329
3460       3463       6917
3530       3533       7057
3536       3539       7069
3620       3623       7237
3730       3733       7457
4010       4013       8017
4136       4139       8269
4516       4519       9029
4640       4643       9277
4676       4679       9349
5006       5009       10009
5230       5233       10457
5300       5303       10597
5396       5399       10789
5446       5449       10889
5480       5483       10957
5560       5563       11117
5686       5689       11369
5746       5749       11489
5810       5813       11617
5846       5849       11689
6050       6053       12097
6076       6079       12149
6260       6263       12517
6320       6323       12637
6656       6659       13309
6826       6829       13649
6866       6869       13729
7016       7019       14029
7646       7649       15289
7826       7829       15649
7870       7873       15737
7876       7879       15749
8240       8243       16477
8266       8269       16529
8366       8369       16729
8540       8543       17077
8696       8699       17389
8710       8713       17417
8750       8753       17497
8966       8969       17929
9046       9049       18089
9130       9133       18257
9400       9403       18797
9436       9439       18869
9536       9539       19069
9626       9629       19249
9646       9649       19289
9736       9739       19469
9746       9749       19489
9970       9973       19937
这是10000以内的非6n形哥德巴赫数对。

白新岭 · 发表于 2019-1-14 13:06

如果保证p,q，2p+q（或p+2q）都是素数，及mod（p+q，6）=0，的情况下，则2p+q数在素数域并上2倍素数集合中有0.586810502974995*（它前素数个数+它前2倍素数的个数）^2/它本身组解，也就是说，与哥德巴赫猜想的素数对接近，如果再填上p+2q也是素数的话，它应该在3生素数与2生素数产生的概率之间，也就说哥德巴赫数对产生的概率在孪生素数与（p，p+2，p+6）3生素数产生的概率之间

白新岭 · 发表于 2019-1-15 13:49

P       Q       p       q
59957       30133       29927       103
59951       30139       29921       109
59663       30427       29633       397
59659       30431       29629       401
59561       30529       29531       499
59513       30577       29483       547
59453       30637       29423       607
59441       30649       29411       619
59419       30671       29389       641
59377       30713       29347       683
59333       30757       29303       727
59273       30817       29243       787
59239       30851       29209       821
59221       30869       29191       839
59197       30893       29167       863
59107       30983       29077       953
59051       31039       29021       1009
59009       31081       28979       1051
58909       31181       28879       1151
58897       31193       28867       1163
58733       31357       28703       1327
58699       31391       28669       1361
58693       31397       28663       1367
58601       31489       28571       1459
58579       31511       28549       1481
58441       31649       28411       1619
58061       32029       28031       1999
58031       32059       28001       2029
57991       32099       27961       2069
57973       32117       27943       2087
57947       32143       27917       2113
57853       32237       27823       2207
57839       32251       27809       2221
57793       32297       27763       2267
57727       32363       27697       2333
57719       32371       27689       2341
57557       32533       27527       2503
57397       32693       27367       2663
57173       32917       27143       2887
57107       32983       27077       2953
57097       32993       27067       2963
57041       33049       27011       3019
56891       33199       26861       3169
56843       33247       26813       3217
56747       33343       26717       3313
56731       33359       26701       3329
56713       33377       26683       3347
56569       33521       26539       3491
56543       33547       26513       3517
56527       33563       26497       3533
56489       33601       26459       3571
56467       33623       26437       3593
56453       33637       26423       3607
56369       33721       26339       3691
56239       33851       26209       3821
56149       33941       26119       3911
55949       34141       25919       4111
55933       34157       25903       4127
55829       34261       25799       4231
55763       34327       25733       4297
55619       34471       25589       4441
55439       34651       25409       4621
55331       34759       25301       4729
55127       34963       25097       4933
55009       35081       24979       5051
55001       35089       24971       5059
54983       35107       24953       5077
54973       35117       24943       5087
54779       35311       24749       5281
54727       35363       24697       5333
54581       35509       24551       5479
54121       35969       24091       5939
53959       36131       23929       6101
53939       36151       23909       6121
53861       36229       23831       6199
53849       36241       23819       6211
53791       36299       23761       6269
53783       36307       23753       6277
53717       36373       23687       6343
53639       36451       23609       6421
53633       36457       23603       6427
53611       36479       23581       6449
53323       36767       23293       6737
53299       36791       23269       6761
53281       36809       23251       6779
53233       36857       23203       6827
53189       36901       23159       6871
53161       36929       23131       6899
53093       36997       23063       6967
53069       37021       23039       6991
53003       37087       22973       7057
52951       37139       22921       7109
52901       37189       22871       7159
52817       37273       22787       7243
52813       37277       22783       7247
52727       37363       22697       7333
52667       37423       22637       7393
52579       37511       22549       7481
52561       37529       22531       7499
52511       37579       22481       7549
52183       37907       22153       7877
52021       38069       21991       8039
51893       38197       21863       8167
51829       38261       21799       8231
51817       38273       21787       8243
51787       38303       21757       8273
51769       38321       21739       8291
51631       38459       21601       8429
51521       38569       21491       8539
51437       38653       21407       8623
51413       38677       21383       8647
51307       38783       21277       8753
51257       38833       21227       8803
51199       38891       21169       8861
51137       38953       21107       8923
51131       38959       21101       8929
51047       39043       21017       9013
50993       39097       20963       9067
50951       39139       20921       9109
50909       39181       20879       9151
50839       39251       20809       9221
50777       39313       20747       9283
50723       39367       20693       9337
50581       39509       20551       9479
50539       39551       20509       9521
50363       39727       20333       9697
50291       39799       20261       9769
50153       39937       20123       9907
50119       39971       20089       9941
50053       40037       20023       10007
50051       40039       20021       10009
49991       40099       19961       10069
49921       40169       19891       10139
49807       40283       19777       10253
49747       40343       19717       10313
49739       40351       19709       10321
49531       40559       19501       10529
49463       40627       19433       10597
49331       40759       19301       10729
49261       40829       19231       10799
49193       40897       19163       10867
48947       41143       18917       11113
48889       41201       18859       11171
48623       41467       18593       11437
48571       41519       18541       11489
48481       41609       18451       11579
48473       41617       18443       11587
48463       41627       18433       11597
48371       41719       18341       11689
48281       41809       18251       11779
48247       41843       18217       11813
48163       41927       18133       11897
48091       41999       18061       11969
48073       42017       18043       11987
48017       42073       17987       12043
47951       42139       17921       12109
47911       42179       17881       12149
47791       42299       17761       12269
47639       42451       17609       12421
47581       42509       17551       12479
47521       42569       17491       12539
47513       42577       17483       12547
47407       42683       17377       12653
47389       42701       17359       12671
47363       42727       17333       12697
47269       42821       17239       12791
47237       42853       17207       12823
47137       42953       17107       12923
46957       43133       16927       13103
46901       43189       16871       13159
46679       43411       16649       13381
46663       43427       16633       13397
46649       43441       16619       13411
46591       43499       16561       13469
46441       43649       16411       13619
46093       43997       16063       13967
45989       44101       15959       14071
45817       44273       15787       14243
45673       44417       15643       14387
45599       44491       15569       14461
45557       44533       15527       14503
45541       44549       15511       14519
45503       44587       15473       14557
45403       44687       15373       14657
45361       44729       15331       14699
45337       44753       15307       14723
45319       44771       15289       14741
45293       44797       15263       14767
45247       44843       15217       14813
45137       44953       15107       14923
45131       44959       15101       14929
这是（30030，90090）的哥德巴赫数对

白新岭 · 发表于 2019-1-15 13:51

因为哥德巴赫数对是（2n，6n），2n又是3的倍数，所以在哈代的哥德巴赫猜想数对上的表达式是一致的，即c*（2n）/（LN(2n））^2与C*（6n）/（LN(6n））^2中大小c常数相等，另外哥德巴赫猜想数对还可以写成c*（6n前素数个数）^2/(6n）的形式，这说明与区间的素数个数有直接关系，在三分之二的取值区间，如果我们安均匀分布的情况下，可以有1/3的素数个数，用素数定理代替素数个数，则得到6n的三分之二段内有哥德巴赫猜想数对，大概为c/9*（6n）/（LN(6n））^2对有可能是哥德巴赫数对，它的数对占的比例（与c*（2n）/（LN(2n））^2数对比较）就该是哥德巴赫数对的比例，即c/9*（6n）/（LN(6n））^2/(c*（2n）/（LN(2n））^2)*c/9*（6n）/（LN(6n））^2=1/3*（LN(2n））^2/（LN(6n））^2*c/9*（6n）/（LN(6n））^2=2C/9*n*LN(2n））^2/（LN(6n））^4.
经过公式验算，得到的结果是c/9*（6n）/（LN(6n））^2的值接近哥德巴赫数对，而不是2C/9*n*LN(2n））^2/（LN(6n））^4，前一个公式的结果为196.9对哥德巴赫数对，后边的公式是53.6对，实际解为191对，这样看来哥德巴赫数对仅比哥德巴赫猜想数对的数量级差1个量级，也就说随着2n的增大哥德巴赫数对是无限制增大的，可以要多大就有多大，只需范围增大即可。在就是与哥德巴赫猜想一样有波动性，前后的哥德巴赫数对有较大的起伏落差。

白新岭 · 发表于 2019-1-15 13:55

P       Q       q       p
57131       32941       2917       27107
56431       33641       3617       26407
56131       33941       3917       26107
56041       34031       4007       26017
55691       34381       4357       25667
54541       35531       5507       24517
54121       35951       5927       24097
53051       37021       6997       23027
51511       38561       8537       21487
51421       38651       8627       21397
49711       40361       10337       19687
49481       40591       10567       19457
47501       42571       12547       17477
46681       43391       13367       16657
46591       43481       13457       16567
而仅挨着的90072仅有15对，相差悬殊
上楼提到的（30024，90072）的哥德巴赫数对与公式C/9*n*LN(2n））^2/（LN(6n））^4的值接近，公式解为13.9对（这里是无序的，即限制p，q的大小关系，对调后算一对哥德巴赫数对），这里的公式没有了常数2就是变为无序的，哥德巴赫猜想数对是有序素数对（指哈代公式）

白新岭 · 发表于 2019-1-16 13:31

6n的偶数 18n的偶数统计 6n的偶数 18n的偶数统计 6n的偶数 18n的偶数统计
6 18 0 2004 6012 12 9402 28206 20
12 36 2 2010 6030 20 9408 28224 24
18 54 2 2016 6048 16 9414 28242 12
24 72 4 2022 6066 4 9420 28260 54
30 90 4 2028 6084 4 9426 28278 12
36 108 2 2034 6102 2 9432 28296 10
42 126 4 2040 6120 34 9438 28314 22
48 144 0 2046 6138 6 9444 28332 16
54 162 2 2052 6156 4 9450 28350 106
60 180 8 2058 6174 8 9456 28368 14
66 198 4 2064 6192 6 9462 28386 14
72 216 2 2070 6210 26 9468 28404 8
78 234 4 2076 6228 12 9474 28422 12
84 252 4 2082 6246 4 9480 28440 48
90 270 6 2088 6264 6 9486 28458 18
96 288 4 2094 6282 2 9492 28476 28
102 306 2 2100 6300 46 9498 28494 14
108 324 4 2106 6318 8 9504 28512 20
114 342 2 2112 6336 8 9510 28530 58
120 360 10 2118 6354 10 9516 28548 26
126 378 6 2124 6372 6 9522 28566 8
132 396 2 2130 6390 20 9528 28584 16
138 414 0 2136 6408 2 9534 28602 20
144 432 8 2142 6426 16 9540 28620 56
150 450 6 2148 6444 6 9546 28638 10
156 468 4 2154 6462 2 9552 28656 10
162 486 6 2160 6480 28 9558 28674 8
168 504 6 2166 6498 10 9564 28692 12
174 522 6 2172 6516 0 9570 28710 88
180 540 8 2178 6534 12 9576 28728 26
186 558 4 2184 6552 16 9582 28746 14
192 576 0 2190 6570 22 9588 28764 16
198 594 2 2196 6588 10 9594 28782 10
204 612 2 2202 6606 10 9600 28800 58
210 630 18 2208 6624 8 9606 28818 14
216 648 4 2214 6642 10 9612 28836 14
222 666 4 2220 6660 20 9618 28854 22
228 684 2 2226 6678 16 9624 28872 24
234 702 6 2232 6696 2 9630 28890 50
240 720 6 2238 6714 4 9636 28908 22
246 738 2 2244 6732 12 9642 28926 18
252 756 4 2250 6750 20 9648 28944 10
258 774 2 2256 6768 8 9654 28962 16
264 792 4 2262 6786 10 9660 28980 100
270 810 10 2268 6804 18 9666 28998 18
276 828 6 2274 6822 10 9672 29016 18
282 846 2 2280 6840 34 9678 29034 18
288 864 6 2286 6858 0 9684 29052 20
294 882 4 2292 6876 4 9690 29070 72
300 900 12 2298 6894 2 9696 29088 16
306 918 4 2304 6912 2 9702 29106 24
312 936 4 2310 6930 62 9708 29124 12
318 954 2 2316 6948 0 9714 29142 12
324 972 2 2322 6966 6 9720 29160 54
330 990 18 2328 6984 12 9726 29178 10
336 1008 8 2334 7002 8 9732 29196 16
342 1026 4 2340 7020 40 9738 29214 14
348 1044 2 2346 7038 10 9744 29232 28
354 1062 2 2352 7056 10 9750 29250 68
360 1080 14 2358 7074 4 9756 29268 12
366 1098 4 2364 7092 4 9762 29286 14
372 1116 4 2370 7110 30 9768 29304 16
378 1134 6 2376 7128 6 9774 29322 22
384 1152 4 2382 7146 8 9780 29340 56
390 1170 14 2388 7164 2 9786 29358 34
396 1188 6 2394 7182 14 9792 29376 12
402 1206 2 2400 7200 28 9798 29394 18
408 1224 4 2406 7218 8 9804 29412 14
414 1242 4 2412 7236 4 9810 29430 54
420 1260 24 2418 7254 10 9816 29448 16
426 1278 2 2424 7272 12 9822 29466 14
432 1296 4 2430 7290 30 9828 29484 38
438 1314 2 2436 7308 16 9834 29502 12
444 1332 4 2442 7326 6 9840 29520 66
450 1350 16 2448 7344 10 9846 29538 18
456 1368 0 2454 7362 6 9852 29556 6
462 1386 12 2460 7380 30 9858 29574 14
468 1404 4 2466 7398 4 9864 29592 18
474 1422 2 2472 7416 4 9870 29610 110
480 1440 16 2478 7434 16 9876 29628 16
486 1458 2 2484 7452 12 9882 29646 10
492 1476 4 2490 7470 34 9888 29664 8
498 1494 6 2496 7488 6 9894 29682 22
504 1512 6 2502 7506 2 9900 29700 74
510 1530 16 2508 7524 14 9906 29718 18
516 1548 2 2514 7542 8 9912 29736 24
522 1566 0 2520 7560 44 9918 29754 20
528 1584 6 2526 7578 4 9924 29772 10
534 1602 0 2532 7596 8 9930 29790 50
540 1620 14 2538 7614 4 9936 29808 20
546 1638 8 2544 7632 2 9942 29826 8
552 1656 2 2550 7650 34 9948 29844 10
558 1674 0 2556 7668 8 9954 29862 24
564 1692 2 2562 7686 14 9960 29880 62
570 1710 16 2568 7704 10 9966 29898 24
576 1728 0 2574 7722 10 9972 29916 26
582 1746 6 2580 7740 24 9978 29934 10
588 1764 6 2586 7758 10 9984 29952 16
594 1782 4 2592 7776 10 9990 29970 58
600 1800 12 2598 7794 6 9996 29988 30
这是每段各取100组的哥德巴赫数对，统计需除2（变成无序的）

白新岭 · 发表于 2019-1-17 10:48

哥德巴赫数对除了mathe提到的17个以外，在没有反例

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