求幂级数 ∑(n=1,∞)nx^(n+1) 的和函数，分析它的收敛发散情况及收敛半径

luyuanhong

这是网友 永远 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

elim

主貼的问题最好用幂级数理论作统一的处理：对 t = lim sup |a_n|^(1/n)，当 0< t < ∞
时令 R = 1/t, t = 0 时令 R =  ∞,  f(x) = ∑ a(n)x^n 在 (-R, R) 的任意闭区间上一致收敛,
可逐项求导, 导出幂级数有相同的收敛半径 R.

t = ∞ 时原幂级数仅在 x = 0 收敛。

elimqiu

参见我的帖子


另外，分析的基础是绕不过去的。给你一本好书
elinkage.    net/Downloads/Lecture_Analysis.pdf

其中级数部分已经上传：

elimqiu

elimqiu 发表于 2019-1-29 03:40
参见我的帖子

这两章一句一句过关，每题都做，不懂就问，一定可以开通奇经八脉的。

费尔马1

楼主陆教授新年好！
学生用一个笨方法快速解出答案：
数列x∧2+2x∧3+3x∧4+……+nx∧（n+1）的前n项和是S=［x∧2-x∧（n+2）-nx∧（n+2）+nx∧（n+3）］/（1-x）∧2
当x的绝对值＞1时，级数发散，x≠1；当x的绝对值＜1时，级数收敛。
这时上式分子中的后面三项都趋近0，数列的所有项的和为S’，
S’=（x∧2）/（1-x）∧2

elim

5楼的那些论断都是对的。

elim

永远 发表于 2019-2-5 20:11
请看5楼红字部分我的疑问，矛盾啊

|x| > 1 时级数发散有什么矛盾？

elim

永远 发表于 2019-2-5 21:25
红圈部分，x=1怎么解释

x = 1 时一般项不趋于 0， 级数发散是明显的。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子的摘要，详见下列网址：

http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗？

在前两期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰和理解黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？ | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488和https://www.bilibili.com/video/av35082418）中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。到目前为止，我们讲的都是欧拉的工作，正主黎曼还没出来呢！

那么黎曼究竟做了些什么呢？黎曼做了很多事情，他的基本目标就是对质数的分布获得一个明确的表达式。在这个过程中他做出了一个著名的猜想，就是黎曼猜想。与此同时，他的推导过程有一个副产品也变得非常著名，在普通公众中的名气甚至比黎曼猜想还要大得多。这个副产品是什么呢？就是下面这个式子：



全体自然数的和等于-1/12，你八成听说过这个说法，对不对？！

实际上，我的不少朋友不但是听说过这个说法，而且是真的相信了，真的是按照字面上理解这个说法。这样一来，就造成了严重的矛盾：自然数依次相加，不是应该越来越大，超过任何限制吗？怎么可能得到一个有限的值？更不可思议的是，怎么还能得到一个负值？正数加正数只可能得到正数，怎么会变成负数？

按照这样想下去，就越想越可怕了。难道常识都是靠不住的？难道数学是一门违反常识的学科？难道数学家是一群阴谋家，他们向大众隐瞒了许多可怕的秘密？……

更加令公众恐慌的的是，还有不少所谓的科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法就像这样：

“这个计算是数学中隐藏得最好的秘密之一，数学家之外没人知道这件事。”

“这是一个惊悚的结果。”

“这确实有悖常识，因为你内心总想让这个序列停下来，而一旦序列停止，你就再也没法理解这个结果。”

“在数轴的无穷远处，蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。”……

于是乎，我的不少朋友就来忧心忡忡地问我。用他们的话说，简直是世界观都要崩溃了！

好吧，我们就借这个机会，向大家讲清楚这个所谓“全体自然数的和等于-1/12”是怎么回事。还有许多跟它类似的说法，例如所谓“无穷多个1加起来等于-1/2”，“全体自然数的平方和等于0”，都是同样的道理，我们顺便可以一网打尽。

首先，来告诉大家基本的答案：你的常识是正确的，这些说法都是错误的，数学并没有推翻常识。数学家也不是阴谋家，数学家没有向你隐瞒任何东西。你完全不需要害怕，完全可以保全你的世界观和安全感。

然后，这些说法虽然是错误的，但也并不是毫无意义的胡说八道。只要改造一下，它们都可以变成有意义的。正如那句俗话所说：我觉得我还可以再抢救一下！

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