射线悖论

门外汉

我们来探讨一下欧氏几何中的三种一维图形:直线，射线，线段:
直线的两边是没有端点的，因此可以向两边无限延长，其长度为无限。
射线有一个端点，只可以向一边无限延长，其长度也为无限。
线段有两个端点，不可以再延长，因此线段的长度是有限的。
可以很容易的证明出来:任何一条线段的长度都是有限的，如果该命题为真，则，不存在长度为无限的线段。
但是，我们却可以人为的制造出来一条长度为无限的线段，制造方法如下:
首先给出一条初始长度为1米的线段，左端点为a，右端点为b，在1分钟的时间里做出如下的变化:当时间为1/2分钟时，线段的长度增加一倍，变成2米；
当时间为3/4分钟时，线段的长度再增加一倍，变为4米；
当时间为7/8分钟时，线段的长度再增加一倍，变为8米；
当时间为15/16分钟时，线段的长度再增加一倍，变为16米；
……
当时间为1分钟时，停止变化。
在1分钟的时间里，线段的长度增长了无限次，此时线段的长度为无限长。
由于在变化的过程中，线段的两个端点a和b不会消失，因此这是一条长度为无限长的线段。
比较该线段与直线和射线的长度，哪个长呢?因为三者的长度都是无限的，所以一样长。
设一条左端点为A的射线，该射线向右无限延长，下面以线段ab为标尺，在射线上“量”出一个长度来，方法为:令线段ab的左端点a与射线的左端点A对齐，使线段ab与射线完全重合，向右端一直寻找，到达线段ab的右端点b处，由于线段与射线完全重合，则在射线上与b点的相同位置上截取一点记为B，即:射线上的线段AB与线段ab的长度相同，由此引出悖论:
B点是射线的终点吗?
如果B点是射线的终点，也就是射线的另一个端点，这与射线只有一个端点相矛盾。
如果B点不是射线的终点，则射线在B点处仍然向右端无限延长，则射线比线段ab的长度要更长，这与线段ab是无限长的相矛盾。

elim

门外汉的所有“悖论”，都具有同样的范式：给出一个过程的终极状态以前的状态序列，然后指出终极状态不能保持过程状态的某种性质。这种“悖论”可以层出不穷，但没有一个会成为真正意义上的悖论，因为终极状态是由极限给出的，而极限的定义从不保证极限保持过程对象的所有属性。

{1/n} 的极限是0，这个序列的每一项都＞0，与某个数的积等于 1，但其极限丧失了这个共性。楼主可以想不通，但这并不能称之为悖论。

门外汉

elim 发表于 2019-2-12 14:46
门外汉的所有“悖论”，都具有同样的范式：给出一个过程的终极状态以前的状态序列，然后指出终极状态不能保 ...

太笼统了，能不能具体地来讨论一下:1，线段ab的长度是无限的吗?2，ab与射线的长度哪个长?

elim

这些问题你都回答了．你不能回答的部分，我上面的贴回答了．的确需要一点抽象思维的能力，那也是搞数学所必须的．

不妨回答我楼上贴子中的问题：｛1/n｝与其极限是否构成悖论？