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群G的两个正规子群H和K, 若H与K的交为E(仅含单位元), 那么对于任意H中的元h, K中的元k, 有hk=kh
证明:
1. 对于G的任意一个正规子群H, h是H的任意一个元, g是G的任意一个元, g';是g的逆, 因为gHg'; = gg';H = H, 所以ghg';属于H.
hkh';k';= (hkh';)k';= h (kh';k';)
hkh';属于K,所以 (hkh';)k';属于K
同样,h (kh';k';)属于H
所以hkh';k';属于H与K的交, 也就是hkh';k';=e
因此hk=kh
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因为没法打出-1的指数, 所以上边的h';, k';分别指的h与k的逆 |
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