六评华罗庚的《从祖冲之的圆周率谈起》 ——更相减损溯源 倪则均，2015年5月23日。

n123zj3

1，从一块甲骨文说起。
甲骨文是一种契刻在龟甲或兽骨上的文字，又称为“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”。甲骨文纪录和反映了商朝的政治和经济情况，内容一般是占卜所问之事或者是所得结果。殷商灭亡周朝兴起之后，甲骨文还使用了一段时期，是研究商周时期社会历史的重要资料。甲骨文其形体结构已有独立体趋向合体，而且出现了大量的形声字，已经是一种相当成熟的文字，是中国已知最早的成体系的文字形式。它上承原始刻绘符号，下启青铜铭文，是汉字发展的关键形态，被称为“最早的汉字”，现代汉字即由甲骨文演变而来。
从1899年甲骨文首次发现到现在，据学者胡厚宣统计，共计出土甲骨154600多片，其中大陆收藏97600多片，台湾省收藏有30200多片，香港藏有89片，总计我国共收藏127900多片，此外，日本、加拿大、英、美等国家共收藏了26700多片。到目前为止这些甲骨上刻有的单字约4500个，迄今已释读出的字约有2000个左右。现在我们从一块甲骨文上，发现以下一段关于战果的纪载：“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”，此文是说，在辛亥月八日那一场战争中，共歼敌2656人。由此可见那时我们的祖先，对于自然数的表示已经十分完善。他们不仅完全掌握了自然数的“量”的概念，同时还对自然数赋予了“序”的概念，并且对于“量”和“序”，采用了二种不同的表示方法。
对于自然数的“量”的表示来说，那时不仅已经有了：一、二、三、四、五、六、七、八、九，9个明确的个位数字，同时也有了拾、百、千、万等进位数字了。这样的表示方法，已经与我们今天的十进位制的纪数方法完全相同。对于自然数的“序”的表示来说，尤其是对于年月的表示，则是采用了六十进位制纪数方法的又一种表示。他们以甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干，与子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个地支，组合得到六十个不同的序数。这六十个序数是：
甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、
甲戌、乙亥、丙子、丁丑、戊寅、己卯、庚辰、辛巳、壬午、癸未、
甲申、乙酉、丙戌、丁亥、戊子、己丑、庚寅、辛卯、壬辰、癸巳、
甲午、乙未、丙申、丁酉、戊戌、己亥、庚子、辛丑、壬寅、癸卯、
甲辰、乙巳、丙午、丁未、戊申、己酉、庚戌、辛亥、壬子、癸丑、
甲寅、乙卯、丙辰、丁巳、戊午、己未、庚申、辛酉、壬戌、癸亥。
如果将甲、丙、戊、庚、壬看作是五个奇天干，乙、丁、己、辛、癸看作是五个偶天干，子、寅、辰、午、申、戌看作是六个奇地支，丑、卯、巳、未、酉、亥看作是六个偶地支，那上面六十个时间序数，由于全部都是奇与奇或偶与偶的组合，从而使得它们仍然具有明确的奇偶交错的特性。若是将它们改变成奇与偶的组合，尽管也能得到六十个不同的组合，然而这样组合的结果，将不再具有明确的奇偶交错的特性。
十二个地支，分别对应于十二个时辰，每个时辰为两个小时。上述六十个干支序数，最初是运用于纪日的。然而，在上面那块甲骨文里，纪日却是用的量数，而纪月才用干支序数，说明已经有所变化。在我们今天的农历里，纪日纪月已经全都使用量数，只有纪年仍然采用上述六十个干支序数。
2，更相减损术的源头。
华罗庚在其《从祖冲之的圆周率谈起》的第三节里说，辗转相除法或称欧几里得算法，是我们这本小册子的灵魂。那么，华罗庚对于他的这个灵魂的认识又是如何？似乎并不全面，疏漏不少。为了方便论述，我们不妨将我国古代的更相减损术，也称之为辗转相除法，若是a＞g则有：a=gq1+r1，g=r1q2+r2，r1=r2q3+r3，r2=r3q4+r4，……，Rn-2=rn-1qn+rn。如果a和g都是正整数，那么rn也必定是正整数，只要rn≠1，它就是a和g的最大公约数。
从上面的六十个干支序数可以看出，早在我国的商代，对于辗转相除法，不仅已经有所认识，而且还有了极其出色的实际应用，当然这是rn=2时的简单情况。然而，《九章算术》“方田”章的五、六两题，则提出了稍许复杂一点约分问题，其约分术曰：“可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以多减少，更相减损，求其等也。以等数约之。”这个约分术就是更相减损术。如果a与g互素则有rn=1，此时可以运用秦九韶的“大衍求一术”，迅速得到与定数a（模数）互素的奇数g（与模互素的元素）的乘法逆元——乘数k的方法：
a=gq1+r1，0＜r1＜g1。————k1=－q1；
g=r1q2+r2，0＜r2＜r1。————k2=－k1q2+1；
r1=r2q3+r3，0＜r3＜r2。————k3=－k2q3+k1；
r2=r3q4+r4，0＜r4＜r3。————k4=－k3q4+k2；
……；
Rn-2=rn-1qn+rn，0＜rn＜rn-1。————kn=－kn-1qn+kn-2。
最后，若rn=1时，就不再往下计算了，这时的k就是所求的乘数；当奇数g=1时，则直接取ki=1。显然，所谓“求一术”就是用辗转相除，直到余数等于1时为止，从而得出乘数ki的方法。其实，秦九韶的这个“大衍求一术”，也是一个可以迅速解开，一个二元一次不定方程ax+by=c的方法。
在当今最晦涩的“抽象代数学”里，定义所有与定数a（模数）互素的奇数g（与模互素的元素）的集合Φa，只要能够满足下面的五条公理要求，它就是一个乘法交换群：①封闭性，②结合律，③交换律，④存在单位元1，⑤两两结对乘法互逆。显然，前面的四条确实都是“不证自明”的公理，然而，后面的第五条绝对不是“不证自明”的公理，对它必须予以证明，当然，秦九韶的“大衍求一术”，或许是证明它的唯一的方法。但是，当今的“抽象代数学”，是绝对不肯这样做的，否则它们实在太丢人了。
3，十九年七闰的来历。
对于上面的辗转相除表达式来说，只要a和g之中有一个是无穷小数，那么rn就必定也是一个无穷小数，并且这个辗转相除表达式也是无限的，这样的辗转相除表达式，即可运用连分数予以表示。对于这样的连分数，可以逐项予以截断，每一个截断都能得到一个渐近分数，它们都是对于g/a的逼近。一般来说，截断的项数越多，其逼近的精确度就越高。
《周髀算经》所测得的一个回归年为365.25天，一个朔望月为29.530851063天，则有365.25/29.530851063=12.36842105。如果将0.36842105表示成连分数，那么其第一个渐近分数为1/2=0.5，第二个渐近分数为1/3=0.333…，第三个渐近分数为3/8=0.375…，第四个渐近分数为4/11=0.3636…，第五个渐近分数为7/19=0.3684…，第六个渐近分数为116/315=0.3683…，……。
显然，其中的第五个渐近分数为7/19=0.3684…最为精确，这就是十九年七闰的来历。另外，《周髀算经》还规定了“阴阳之数，日月之法”为：“十九岁为一章。四章为一蔀，七十六岁。二十蔀为一遂，遂千五百二十岁。三遂为一首，首四千五百六十岁。七首为一极，极三万一千九百二十岁，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历。”从十九年七闰到“阴阳之数，日月之法”，应该有一个十分漫长的发展过程，因此，我过去一直认为《周髀算经》里的“阴阳之数，日月之法”，是后人给加上去的。最近由于在网上查找甲骨文的资料，却意外发现，原来十九年七闰的方法，早在“殷历”中就有应用。
1945年在四川石印出版的《殷历谱》，是董作宾以12年时间，利用甲骨文等资料撰写的，研究殷代历法与周祭祀谱的巨著。他在此书的第一卷中，提出了商人首先采用干支纪日方法，并且一直从未间断；商人之月为太阴月，有大小月之制（小月29日，大月30日），过14或16月后连置两大月；他认为当时采用阴阳合历之年，故有置闰月之法，19年而7闰，并依其新旧派之分的见解，指出旧派（如武丁）年终置闰（设13月），新派（如祖甲）则为年中置闰。
他在第三卷还讨论了卜辞所见日、月食，企图证明当时已有古四分术与正月建丑之制。陈梦家《殷墟卜辞综述》进一步肯定了董氏的一些说法，同时作了修正，认为年终或年中置闰在一个时期（祖庚、祖甲）内曾并行。但陈氏批评董氏所提出的殷代历法为古四分术及正月建丑之说，认为“是完全错误的”。1981年出版的由天文史学家撰写的《中国天文学史》，肯定了董、陈氏对阴阳合历与大小月的看法，以及董氏提出的干支纪日从殷代至今未间断的看法，并肯定了年终置闰，但否定了殷代有年中置闰的可能性。