“不画图，不着色”证明四色猜测方法之八

雷明85639720

“不画图，不着色”证明四色猜测方法之八
雷明
（二○一五年五月二十五日）
（8）从地图的角度来证明四色猜测
设在某亏格为n的曲面上有一个γ色的地图，按坎泊的思想，那么就应该存在一个“国数最小的”γ色地图。那么这个“国数最小的”地图中也就应有γ个“国家”（这个“国数最小的”地图中的“国家”数γ，实际上就相当于图的最小完全同态的顶点数）。
设这个“国数最小的”地图中的区域数（即“国数”）为f，每一个区域都与别的f－1个区域相邻，每一个区域都有f－1条边界线，f个区域的总共有f（f－1）条边界线。因为每条边界线都是两个区域所共有的，而在这f（f－1）条边界线中每条边界线都是计算了两次的，则这个地图中的“边界线”的总条数即边数应是e＝f（f－1）/2。又因为地图是一个3—正则图，即每一个顶点都连着3条边，即所谓的“三界点”，所以该地图的总边数也可以写成e＝3v/2，从而有3v＝2e＝f（f－1）的关系。用区域数（即面数）f来表示顶点数v和边数e，则有v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2。把v＝f（f－1）/3和e＝f（f－1）/2代入到多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2－2n则得到
f2－7f＋12（1－n）＝0
解这个关于“国数最小的”地图的区域数f的一元二次方程得正根是
       f＝（7＋√（1＋48n））/2
因为区域数必须是整数，所以上式还得向下取整，得
       f＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞
式中用＜ ＞表示其中的数字向下取整。又因为f是两两均相邻的“国数最小的”地图的“国数”， 即区域数，所以这个“国数最小的”地
图染色时也必须用与其区域数相同的颜色数，所以又有
       γ＝f＝＜（7＋√（1＋48n））/2＞
这就是赫渥特的地图着色公式的“等式部分”。
从以上的讨论看，这个区域数f只是某一亏格为n的曲面上“国数最小的”地图中的“国数”最大者。若从这个“国数最小的”地图中去掉一条边，或者去掉一个“三界点”顶点及其所连的3条边，该地图中的区域数就都会减少。这个“国数最小的”地图原来是一个区域染一种颜色，那么现在区域数少了，所用的颜色数也就会减少下来。所以上式还可以再增添上“不等式部分”，即
       γ＝f≤＜（7＋√（1＋48n））/2＞
这就是赫渥特地图着色公式的全貌了，其中既有等式又有不等式。
式中当曲面的亏格为n＝0时，其色数γ＝f≤4，这就是地图中两两均相邻的区划数，也是就是地图四色猜测。这也就证明了四色猜测是正确的。地图的对偶图是一个极大图，地图的四色猜测是正确的，极大图的四色猜测也就是正确的。由极大图经过去点或去边后得到的任意平面图对于极大图来说，色数只会减少而不会增加，所以任意图的色数也是不会大于4 的，平面图的四色猜测也是正确的。
雷明
二○一五年五月二十五日于长安