【趣题征解】证明：在1,2,…,126中任意取7个数，其中必有两个数 x,y ，满足 1≤x

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/11 03:51pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：在 1,2,…,126 中任意取7个数，其中必有两个数 x,y ，满足 1≤x/y≤2 。

LLZ2008

1  3  7  15  31  63  127

luyuanhong

下面引用由LLZ2008在 2010/07/11 04:29pm 发表的内容：
1  3  7  15  31  63  127

127 不在 1,2,…,126 中。

clinheart

luyuanhong

楼上的想法有道理，但是推理没有说清楚。

wangyangkee

胡思乱想：
1，[1，126]分成7个区间【1,21】，【22， 42】，【43,63】，【64,84】，【85，105】，【105，126】；
2，在 1,2,…,126 中任意取7个数，至少有一个区间有两个数；除开这两个数落在【1,21】外，这两个数符合题意；
3，如果这两个数落在【1,20】，其他各区间各一数，那么【85，105】，【105，126】区间数符合题意；
4，如果7数都在【1,20】，那么，至少有两数，间隔不大于5；如果间隔不大于5的两数落在【7，9】，【10,12】，【13,15】，【16，18】，【19,21】的某区间，该两数符合题意；
5，如果间隔不大于5的两数落在【1,3】，【4,6】，那么【7，9】，【10,12】，【13,15】，【16，18】，【19,21】，【10,12】，【13,15】，【16，18】，【19,21】有5个数；将【7，21】分成【7，10】，【11，14】，【15，18】，【19，21】；必有一区间两个数；该两数符合题意。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/11 11:03pm 第 1 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2010/07/11 08:08pm 发表的内容：
胡思乱想：
1，分成7个区间【1,21】，【22， 42】，【43,63】，【64,84】，【85，105】，【105，126】；
2，在 1,2,…,126 中任意取7个数，至少有一个区间有两个数；除开这两个数落在【1,21】外，这两个数符合题 ...

楼上 wangyangkee 想到把 {1,2,…,126} 分成 6 个区间，然后根据“鸽笼原理”，
推导出：在 1,2,…,126 中任意取 7 个数，至少会有两个数落在同一个区间内。
  这一想法很好！很有道理！
但是，由于所分的区间不够好，还不能马上说明问题，还要费很多工夫来讨论。

其实，可以把 {1,2,…,126} 分成下列 6 个区间：
        {1,2} ，{3,4,5,6}，{7,8,9,10,11,12,13,14},
{15,16,17,…,29,30}，{31,32,33,…,61，62}，{63,64,65,…,125，126}
这样 6 个区间，有一个共同特点：每个区间结尾的数字，都是开头的数字的 2 倍。
所以，落在同一区间中的任何两个数字 y≤x ，必有 a≤y≤x≤2a（a 是开头数字），
也就必有 1≤x/y≤2a/a＝2 。

LLZ2008

[这个贴子最后由LLZ2008在 2010/07/12 06:05am 第 1 次编辑]

下面引用由LLZ2008在 2010/07/11 04:29pm 发表的内容：
1  3  7  15  31  63  127

看了luyuanhong教授的证明，我列出的7个数字展示的想法是对的，有127的结论不成立。谢谢陆教授！