初探四色猜想

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初探四色猜想 (2015-06-01 16:57:16)[编辑][删除]转载▼标签： 股票  





初探四色猜想
投稿时间：2015-06-01 16:14 投稿人：陈陶
初探四色猜想

摘要：对每一幅正规地图四着色，作者另辟蹊径，采用独特的思维方式和研究方法，找到了恰当的切入点，利用德.摩根定理、肯普定理、数学归纳法和反证法等，严谨、简明地证明了四色猜想。

关键词：四色猜想；德.摩根定理；肯普定理；数学归纳法；着色模式H；捆绑法；反证法

一  四色猜想

画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图，只需四种颜色，就能使有共同边界的国家着不同的颜色（正规地图有三条限制：1，每个国家必须连成一片；2，两个国家的共同边界必须是条线，而不能是一点或一些孤立的点；3，没有一个国家包围其它国家，也没有三个以上的国家相遇于一点）。

二  背景简介

画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图，国家个数n∈N﹡,随着n值增大，做“四色”研究一直是令人头大的事。1976年，美国数学家利用计算机证明了四色猜想，但不少数学家称机器证明似一本电话簿等，其正确性深受质疑。对于书面证明，从1852年问世至今，对国家个数的值推进有限，未彻底解决，一直在挑战人类智慧，它与费尔马大定理和哥德巴赫猜想一起，成为了世界近代三大数学难题。纵观国内外对四色猜想的研究，160多年来，或用传统的方法，或用一些新方法，几乎要转化为与其相关的等价命题，并建立一套较完整的理论，不少“证明”是十分繁难的长篇论著。在国内，研究四色猜想持续进行，欲力图破解，为国争光，有的人不惜将一生都奉献于此，甚至有的官科还得到了国家自然科学基金等资助。但由于种种原因，迄今为止，还没有证明得到国际数学界普遍承认，其深层次问题恐怕是由于选择的方法“法力”有限，导致其繁难程度不可想象。科学是求实的，数学科学更是严谨的。

三 引理

引理1  不可能有五个国家处于这样的位置，其中每个国家都和其余四个国家相邻（德.摩根定理。邻国，即有共同边界的国家）。

引理2  在每一幅地图中，至少有一国的邻国个数不大于五（肯普定理）。

引理3  以C国为“中心”，设C的邻国个数为m，对这m个国家着色，若m是偶数，则用1与2相间着色；若m是奇数，则用1与2相间着色，最后一国着色3。把这种关于C国的邻国的着色的模式记为H（分两种情形），简称为着色模式H（1、2、3、4为颜色代码，不会混淆。引理3实为“圈”着色最优原则。事实上，在圈上要分辨出邻国着不同色，引理中色的种数不能再少。这是众所周知的）。

四 证明四色猜想

证明：众所周知，对画在一张纸（或地球仪）上的每一幅正规地图着色，要使相邻国着不同颜色，四种颜色是必需的。下面给出其严谨、简明的证明，涉及的示意图集中附于文后。

Ⅰ若这n﹙n∈N，n≥1﹚个国家是连成一片的。

①在这n个国家中，若不存在邻国个数小于四的国家，即每个国家的邻国个数都不小于四。由引理1知，满足这个条件的国家个数不小于六。

（1）当n=6时，每个国家的邻国个数恰好都为四，其中，“中心”A国有四个邻国，与这四个国家都相邻的是R国，如图一。对这六个国家着色，根据引理3，先构建关于A国（可任取）的着色模式H,把A国的四个邻国用1与2相间着色；其次，缘着着色模式H，按符合四着色要求向外围的国家逐个着色，外围国家只有R国，着色3或4；再次，A国着色3或4。这时，四色猜想成立。

（2）假设n=k（k∈N, k≥6）时，四色猜想都成立，且是在满足引理3的着色模式H下，并按（1）的程序和四着色要求对k个国家完成着色。也就是说，在这幅地图上任取一国作为中心国A，根据引理3，构建关于A的着色模式H，模式中的国家个数是奇数（不小于五）或偶数（不小于四）（这是因为每个国家的邻国个数都不小于四），如图二、图三，类似（1）分三步依次对k个国家完成着色，且都符合四着色要求。

那么，当n=k+1时，因每个国家的邻国个数都不小于四，故，可任取两个相邻国家P和Q，将其视为一个国家E ，这时，E国的邻国个数仍不小于四。否则，在这两个国家中必存在邻国个数小于四的国家，这与“每个国家的邻国个数都不小于四”矛盾（如图四）。这样处理后的国家个数是k，仍满足相应的条件与归纳假设。由引理2知，满足每个国家的邻国个数都不小于四的条件的正规地图，必有一个国家的邻国个数是四或五，故，不妨取两个相邻的国家P和Q，且P的邻国个数是四或五，将其视为一个国家E。若E的邻国个数是不小于四的偶数，根据引理3，构建关于E的着色模式H-1212…12。根据归纳假设，k个国家符合四着色要求，P和Q不妨着色3。将P换为色4，k+1个国家也符合四着色要求，如图五（E的邻国个数是6的情形）。若E的邻国个数是不小于五的奇数，则不能象前一种情形那样构建关于E的着色模式。否则，将出现P和Q中有一国无法着色的情况，如图六。事实上，ⅰ，若P的邻国个数是四，则Q的邻国个数是不小于五的奇数（含P）。将与P和Q都相邻的两个国家之一国和P视为一个国家（图上方），根据引理3，构建关于Q的着色模式H-1212…12，不妨P着色2，如图七（Q的邻国个数是7的情形）。根据归纳假设，k个国家符合四着色要求。这时，除Q外，P的另一个邻国只能是色3（或4），不妨Q也着色3（或4）。将P换为色4（或3），k+1个国家也符合四着色要求。ⅱ，若P的邻国个数是五，则Q的邻国个数是不小于四的偶数（含P），根据引理3，,构建关于Q的着色模式H-1212…12，不妨P着色1，如图八（Q的邻国个数是6的情形）。除Q外，将P的邻国中的另外两个相邻国家之一国（图左下方）和P视为一个国家，根据归纳假设，k个国家符合四着色要求。这时，除Q外，P的另一个邻国只能是色3（或4），不妨Q也着色3（或4）。将P换为色4（或3），k+1个国家也符合四着色要求。这就是说，当国家个数n＝k+1时，四色猜想也成立。到此，归纳完成。

②在这n个国家中，若存在邻国个数小于四的O国。

（1）当n=1、2时，四色猜想显然成立。

（2）假设n=k ( k∈N, k≥2)时，四色猜想都成立。

那么，当n=k+1时，暂不考虑O国，对其余的k个国家着色，根据归纳假设或①的论证（即除O国外，无论是否有邻国个数小于四的国家），其着色都符合四着色要求，又因为O国的邻国个数小于四，所以，O国的邻国着色不超过三种颜色，从而，O国至少可用第四种颜色着色。这就是说，当n=k+1时，四色猜想也成立。到此，归纳完成。

Ⅱ若这n（n∈N，n≥2）个国家不是连成一片的。

这时，这幅地图的n个国家至少由两片组成，且每一片的国家个数（至少有一个）和位置关系无论怎样，根据Ⅰ的论证每一片的国家着色都符合四着色要求，即四色猜想成立。

综上所述，对国家个数为n（n ∈N﹡）的每一幅正规地图，四色猜想都成立；且成为四色定理（本文是《简证四色猜想》的修订★四川省岳池县白庙职中 陈陶）。

    附：证明示意图

                                                        

                                                                                                                  


















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波斯猫猫

学术环境令人生畏.

任在深

因为大多数人还不懂得结构数学，以及结构数学的结构关系！
其中当然也包括你！！
所以证明的路子错了！
因此无法给出正确的证明！！