一探素数与素数域——素数的生成与分类 倪则均，2015年6月5日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，素数的老子生成。
老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物。”是老子借助于自然数的生成规律，阐明了他的宇宙生成观。显然老子已经意识到，宇宙万物的生成与天地万数的生成，具有诸多类似的规律。不仅如此，老子似乎也已经洞察到，宇宙万物的结构与天地万数的结构，几乎具有完全同构的特性。因此人们既可以通过探索宇宙的奥秘，来揭开自然数的神秘面纱，也可以通过对于自然数的研究，去破解宇宙的密码，找到其中所隐藏的玄机。
老子的“道生一”是一个从无到有的发展过程，道是指整个宇宙中，所客观存在着的种种自然规律，得“一”意味着对于这些规律已经有所认识。对于哲学来说，道就是无，对于数学来说，道就是0，0是整个自然数里唯一的一个无量数，也是加法运算的单位元，1是整个自然数里最小的一个有量数，也是乘法运算的单位元。只有得“一”才能得“二”，2是整个自然数里唯一的一个偶素数，只要有了这个偶素数2，即可生成得到“三”（三为数量众多之意）类奇素数。这个生成规律可以表示为：2n-1，n为大于1的自然数，这是关于素数性质的第一条定理。显然，当为奇数，单偶数，双偶数，……时，2n-1的素因子是各各不同的。
现代数学对于素数的定义是，凡是只能被1和其自身整除的自然数称为素数，1虽然也是只能被1和其自身整除的自然数，但是不能称之为素数。然而，在素数群里，1既是一个欧拉数，又是一个因子数。早在二千多年前古希腊的欧几里得，就已经运用十分巧妙的方法证明了，在整个自然数里，素数的数量有无限之多，这是关于素数性质的第二条定理。下面我们将要证明，关于素数性质的第三条定理是：在整个自然数里，其奇素数的种类可以有无限种之多，其中每种奇素数的数量都有无限之多。
老子的“三生万物”比较容易理解，他说的是数量更为庞大的合数，都是由所有的素数所生成。一般都认为合数可以通过素数去予以认识，其实素数又何尚不需要合数去予以认识，素数与合数之间，完全是一个相辅相成的关系，我们既要通过素数去认识合数，又要通过合数去认识素数，这是一种不断地相互予以认识的过程，也是一个螺旋式的共同的提升过程。
西方数学从欧几里得到费马，试图通过对于素数的研究，达到认识自然数的目的，然而，欧拉和高斯却将这种研究，引入了完全唯心主义的泥潭。老子的宇宙生成观，只是给我国的自然数研究指明了方向，孙武的同余式组，才是对我国的自然数研究，给予了具体的做法，显而易见，这是研究自然数的光明大道。
2，奇素数的分层。
为了深入研究奇素数的特性规律，我们必须将全体奇素数，作出更为合理的细致划分，主要包括分 “层”和分“阶”二个方面。对于任何一个奇素数p来说，2必定是其Φp素数群里的一个元素。因此，元素2在Φp素数群里，必定会有一个变化周期，这个变化周期不妨表示为：t=2wv（v为奇数），即有2 t≡1（mod p）。如果将这个同余式，转换成一般的普通算式则为：2^(2wv)-1=kpi。这就是说，这个2的周期为t=2wv（v为奇数）的奇素数p，必定是下面w+1个因子式里，最后一个因子式的一个素因子。
2^(2wv)-1=[2^(2w-1v)-1][2^(2w-1v)+1]= （2v-1）（2v+1）…[2^(2w-2v)+1][2^(2w-1v)+1]。
我们将第一个因子式2v-1里的全体素因子，称为0层素数。显然0层素数，都是2的周期为t=20v（v为奇数）的奇素数；我们将第二个因子式2v+1里的全体素因子，称为1层素数。显然1层素数，都是2的周期为t=21v（v为奇数）的奇素数。依此规律，我们将最后一个因子式[2^(2w-1v)+1]2里的全体素因子，称为w层素数。显然w层素数，都是2的周期为t=2wv（v为奇数）的奇素数。由于w可以无限之大，因此，在全体奇素数里，它们的“层”数同样有无限之多。
其实，如果我们将1看作是第一个因子式2v-1里的公因子，那么2^20+1，2^21+1，2^22+1，…，2^2w-2+1，则是其它各个因子式里的公因子，显而易见，这是一个费马数序列。费马曾错误的认为，这个序列的数全部都是素数，以后我们将证明，这个序列的数，只有前面的五个是素数，其它全部都是合数。费马生前曾对自然数的性质，作出过大量的猜想，似乎他对于费马素数的猜想，是其唯一的一个错误。
1732年欧拉通过硬凑的方法，证明了F5=2^25+1=641×6700417，其实，在641和6700417二个素数里，它们的2的周期都是64，因此这样的分解被称为同周期分解。一般来说，同周期分解最为困难，然而，我已经找到了同周期分解的妙法。同周期分解出的同周期素数，未必都只有两个，例如F12有人已经找到了它的五个同周期素因子，它们是114689、26017793、63766529、190274191361、1256132134125569，但是还是未能对其作出彻底的分解。
费马为了研究奇素数的分拆，特意将全体奇素数划分成4k+1形素数，和4k-1形素数二个大类。其实，4k-1形素数不是素数的正形，因此在实际研究中，还必须将这类4k-1形素数，再进一步转换成8k+7形和8k+3形两类正形素数。8k+7形素数只是0层素数的绝大部分，8k+3形素数则是1层素数的全部，而其它所有层的素数，连同0层素数的部分，全部都是4k+1形素数。
3，层内素数的分阶。
层内素数的分阶，主要是针对各层因子式里的奇指数v而言。当v为s个不同奇素数的乘积时，即有v=p1p2…ps，那么这个奇指数v，就会有2 s个指因子数，其中的0Cs个1，称为0阶指因子数；1Cs个p1，p2，…，ps，称为1阶指因子数；2Cs个p1p2，…，ps-1ps，称为2阶指因子数；……sCs个p1p2…ps，称为s阶指因子数。我们应该不难证明，0层里的每一个指因子数，都至少会生成一个式素因子。例如当v=pq为二个不同奇素数的乘积时，2 pq-1可以有下面两种不同的分解方式：
2 pq-1=（2 p-1）[2 p（q-1）+2 p（q-2）+…+2 p +1]
2 pq-1=（2 q-1）[2 q（p-1）+2 q（p-2）+…+2 q +1]
由于上面两种不同的分解方式其结果必定相同，因此有
[2 p（q-1）+2 p（q-2）+…+2 p +1]/（2 q-1）=[2 q（p-1）+2 q（p-2）+…+2 q +1]/（2 p-1）
显然，这是二阶指因子数pq所生成的式因子数，而（2 p-1）和（2 q-1）则是一阶指因子数p和q所生成的式因子数。（2 p-1）和（2 q-1）若是素数，称为梅森素数，如果是合数，那么其分解，同样属于同周期分解。当然2 pq-1的分解，应该还有一个公因子1，从而证明当v=pq为二个不同奇素数的乘积时，2 pq-1至少可以分解成2 2个式素因子的乘积。
由于奇指数v可以是无限多个奇素数的积，那么其指因子数的阶数也会是无限之多，其指因子数的数量更是无限之多，由它们所生成的式因子数，当然也是更其无限之多，而由这些式因子数使得到的式素因子，由于可能存在同周期素数，其数量还会更多。这就是说，从奇指数v的素因子数，到奇指数v的指因子数，是一种超几何级的增长关系；而从奇指数v的指因子数，到0层生成式的式因子，尽管只是一种一一对应的关系，但是，其式因子之中，有不少还可以作进一步的同周期分解。由此我们证明0层素数里的奇素数的数量，更会有无限无限再无限之多。
以后我们还要证明，0层素数里的梅森素数的数量，也会有无限之多，那么也就是说，在整个自然数里，偶完全数的数量，也会有无限之多。现在在互联网上，有一个名为“GIMPS”的组织，发动大家共同参与，他们的寻找梅森素数的行动。据说这个组织已经吸引了，世界各国成千上万人参加。由于已经证明梅森素数的数量，因此这种寻找梅森素数的行动，似乎显得毫无意义了。
其它各层里的式素因子，我们可以运用上述同样的方法，证明它们的数量全有无限之多，只是它们的指因子数，各各有些不同。如果说0层素数里的指因子数，为偶层数2 0与奇指因子数的积，那么，其1，2，…层素数里的指因子数，则为偶层数2^ 20，2^ 21，…与奇指因子数的积。