用颜色重叠法证明四色猜测

雷明85639720

用颜色重叠法证明四色猜测
雷  明
（二○一五年六月十三日）

    地图本身就是一个3—正则的平面图，对其面上的着色，本应是对其对偶图的顶点着色，但现在我们想另走一路，首先对其进行边着色，然后再对其进行面着色。
    图的边着色就是对其线图的顶点着色。线图的密度等于原图的最大度，3—正则图（地图）的最大度就是其平均度3，再因3—正则图的每条边的两端都连接着4条边，所以3—正则图的线图是一个密度是3的4—正则图。因为该图的密度是3，所以它顶点着色时的色数最少是3，又因为该图只可能含有4—轮而不可能含有5—轮，所以它的色数也不可能比其密度大，这就决定了该图的色数一定是3，同时也就决定了3—正则图的边色数也一定是3。可见3—正则图的每一个顶点都连接着用三种不同颜色着色的三条边。
    在3—边着色的3—正则图中，每两种颜色构成的边二色子图都是若干条哈密顿回路，把平面分成了若干个互不连通的部分（部分数比其回路数多1)。在3—边着色的3—正则图中，共有三种边二色子图，任取两种边二色子图的并都可得到原3—边着色的3—正则图。
    我们令着1、2二色的边二色子图为E12，给其各个面（即分平面的各个部分）相间的着以任意两种颜色，如白和黄；令着1、3二色的边二色子图为E13，也给其各个面（也即分平面的各个部分）着以不同于E12二色子图的另两种颜色的，如红和兰。则E12和E13的并E12∪E13就是原3—边着色的3—正则图。以上的白、黄、红、兰四种颜色的叠加就形成了另外的四种新颜色：白+红生成红，白+兰生成兰，黄+红生成橙，黄+兰生成绿，这新生成的四种颜色分别染在了3—正则图的各个面上，一个也不空，也没有生成第五种颜色。这就证明了任何3—正则图（地图）都是可4—面着色的，也即证明了任何地图都是可4—面着色的。这就证明了地图的四色猜测是正确的。
    由于给地图的面上的着色就是给其对偶图的顶点着色，地图的对偶图又是极大的平面图，所以极大平面图的顶点着色的色数也一定是4，是可4—着色的。极大图通过减边或者去点后，就可得到任意的平面图，而这些平面图的顶点着色色数只会比极大图平面图少而不会增大。所以这也就证明了任意的平面图也是可4—着色的。这也就证明了平面图的四色猜测也是正确的。
    到此，地图的四色猜测和平面图的四色猜测都得到了证明是正确的。所以四色猜测也得到证明是正确的。
    下面是对一个徙手所画地图的着色，方法用的就是本文所介绍的方法。图1是一个随手所画的地图，即进行了3—边着色的3—正则图，红色的边是一条哈密顿回路。图2是由1、2二色构成的二色子图，是一个圈，圈内外分别着以白色和黄色。图3是由1、3二色构成的二色子图，是两个圈，圈内外分别着以红色和兰色。图4是图2和图3重叠后得到的原3—正则地图的4—面着色。
   
                                                                     雷  明
                                                          二○一五年六月十三日于金堆城

雷明85639720

我这一思想方法是看了徐俊杰先生的书数学四色问题证明后而产生的。

雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

有网友11223344提出不一定所有的3—正则平面图都是可3—边着色的，所以我这个证明可能就是失败的。但对于可3—边着色的3—正则平面图来说，它则一定是可4—面着色的。但这并不代表所有的3—正则平面图（地图）都一定是也是可4—面着色的，所以猜测还是没有被证明是正确的。