一道概率题。

fm1134

[这个贴子最后由fm1134在 2010/07/16 10:08pm 第 1 次编辑]

一个不透明的袋子里装有10个球，分别编号为1，2，。。。10号球。现随机地从袋子里摸出
一个球，观察号码后又放回袋子里。设摸中各个球的概率都相等，且各次摸球试验都是相互
独立。连续摸球10次，结果都没有出现5号球，那么第11次出现5号球的可能性是否比其它球
要大呢？

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2010/07/16 10:08pm 发表的内容：
一个不透明的袋子里装有10个球，分别编号为1，2，。。。10号球。现随机地从袋子里摸出
一个球，观察号码后又放回袋子里。设摸中各个球的概率都相等，且各次摸球试验都是相互
独立。连续摸球10次，结果都没有出现5号球，那么第11次出现5号球的可能性是否比其它球
要大呢？

“各次试验独立”的意思就是说：前面试验的结果，对后面试验的结果，不会有任何影响。
所以，不管前面 10 次摸球的结果是什么，第 11 次摸球摸到 5 号球的概率仍然是 1/10 ，
既不会增大，也不会减小。
直观想想，也应该是这样。前面 10 次摸球结束后，曾经摸到过的球已经放回到了袋子里，
袋子里还是 10 个球，完全恢复到了初始状态。在这种情况下，摸到 5 号球的概率，
当然与初始状态下完全一样，怎么会变大或变小呢？难道球也会有“记忆”吗？

fm1134

可是凭直观想象：前10次都没有出现5号球，为了保证各球出现概率相等，那么后面几
次出现5号球的可能性应该大一些，否则5号球出现的概率就要小于其它球了。

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2010/07/16 10:49pm 发表的内容：
可是凭直观想象：前10次都没有出现5号球，为了保证各球出现概率相等，那么后面几
次出现5号球的可能性应该大一些，否则5号球出现的概率就要小于其它球了。

我们要正确理解概率的意义。
一个事件发生的概率是 1/10 ，并不等于说：每试验 10 次，这个事件必然要发生 1 次。
也并不等于说：每试验 100 次，这个事件必然要发生 10 次。
试验 10 次，这个事件一次也不发生，是完全有可能的。
甚至试验 100 次、1000 次，这个事件一次也不发生，也是有可能的。
当然，发生这种情况的可能性很小，但是，如果这种情况真的发生了，
下一次试验时事件发生的概率仍然是 1/10 ，既不会变大也不会变小。
用摸球的例子来说：
摸到 5 号球的概率是 1/10 ，一连摸 10 次，一次也没有摸到 5 号球，
发生这样情况的概率是：(1-1/10)^10＝0.3486784401 。
前面 10 次没有摸到 5 号球，第 11 次也没有摸到 5 号球，发生这种情况的概率是：
(1-1/10)^11＝0.31381059609 。
前面 10 次没有摸到 5 号球，第 11 次恰好摸到 5 号球，发生这种情况的概率是：
(1-1/10)^10×1/10＝0.03486784401 。
在前 10 次未摸到 5 号球的情况下，第 11 次未摸到 5 号球的概率与摸到 5 号球的
概率之比，是 0.31381059609 比 0.03486784401 ，即 9 比 1 。
可见，在前 10 次未摸到 5 号球的情况下，第 11 次摸到 5 号球的概率仍然是 1/10 。

fm1134

    陆老师的解释很有道理。但是从另一个角度来看，既然每个球出现的概率都相
等，而前N次都未出现5号球，那么如果后面M次试验中，如果5号球出现的次数不多一
些的话，总体下来，5号球出现的总次数就要小于其它球了，则5号球出现的概率就会
小于其它球了，这和题设相矛盾了。
  
    从陆老师的角度去看这个问题，后面任意一次试验中，5号球出现的概率都是
1/10，但是从出现次数的角度来看，后面M次试验中，5号球出现的次数必须要更多一
些，否则，不能保证P{出现5号球｝=1/10。

    这两个角度都符合概率的理论，但结论却不一样。该如何解释呢？

LLZ2008

[这个贴子最后由LLZ2008在 2010/07/17 05:28pm 第 2 次编辑]

下面引用由fm1134在 2010/07/17 04:34pm 发表的内容：
陆老师的解释很有道理。但是从另一个角度来看，既然每个球出现的概率都相
等，而前N次都未出现5号球，那么如果后面M次试验中，如果5号球出现的次数不多一
些的话，总体下来，5号球出现的总次数就要小于其　...

我觉得这也是随机与必然的差别。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/17 06:11pm 第 2 次编辑]

下面引用由fm1134在 2010/07/17 04:34pm 发表的内容：
陆老师的解释很有道理。但是从另一个角度来看，既然每个球出现的概率都相
等，而前N次都未出现5号球，那么如果后面M次试验中，如果5号球出现的次数不多一
些的话，总体下来，5号球出现的总次数就要小于其它球了　...

    在概率论中，对概率有多种定义，有一种定义，称为“统计定义”：

设在 n 次重复独立试验中，事件 A 发生了 m 次，称 m/n 为事件 A 发生的频率。
当试验次数 n 越来越大，趋于无穷大时，频率 m/n 会越来越明显地稳定在一个
常数 p 的附近，这个常数 p 反映了事件 A 发生的可能性大小，我们称 p 为事件
A 发生的概率。
    对于这个定义，我们要注意几点：

（1）这个定义反映的是试验次数 n 趋于无穷大时的结果，当试验次数 n 是一个
有限数字时，这个定义并没有保证说：频率 m/n 一定会等于或接近于概率 p 。

例如，当 A 的概率为 1/10 时，并不能保证 10 次试验中 A 一定发生 1 次，
100 次试验中 A 一定发生 10 次，1000 次试验中 A 一定发生 100 次。

（2）定义中说：频率 m/n 会越来越明显地稳定在概率 p 的附近，并不排除频率
m/n 与 p 会发生很大的偏差，只是说：发生很大偏差的可能性很小而已。

例如，当 A 的概率为 1/10 时，100 次试验中 A 发生 0 次的可能性也是有的，
只不过这种可能性很小，等于 (1-1/10)^100＝0.000026561… 。
100 次试验中 A 发生 100 次的可能性也是有的，当然，这种可能性非常非常小，
等于 (1/10)^100＝0.0000000000000…0001（1 前面 100 个 0） 。

（3）所以，如果我们在日常生活中，偶然遇到了频率 m/n 与概率 p 有很大偏差
的情况，比如：一个概率为 1/10 的事件 A 在 100 次试验中竟然一次也没有出现，
虽然有些令人惊讶，但是，它与概率论中关于概率的统计定义并不矛盾。
这样的情况，发生就发生了，只能作为一种历史的记录，不会对以后的试验产生什么
影响。不会有一个什么“上帝之手”，或什么神秘的力量，要来“纠正”这种偏差，
使得在以后的试验中，A 发生的次数变得更多一点，使得 m/n 与概率 p 更符合一点。
直观想想也知道，假如真有这样的“上帝之手”，岂不是太奇怪，太不可思议了吗？！

fm1134

    明白了，频率的极限并不等于概率！
    非常感谢陆老师的解答！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/07/18 01:27am 第 1 次编辑]

下面引用由fm1134在 2010/07/17 10:55pm 发表的内容：
明白了，频率的极限并不等于概率！
    非常感谢陆老师的解答！

概率论中频率 m/n 与概率 p 的关系，与微积分中变量与极限的关系，确实是不同的。
在微积分中，如果当 n→∞ 时，变量 x(n) 的极限是 a ，那么，只要 n 充分大，变量
x(n) 与极限 a 的差，就可以任意地小，就可以保证 x(n) 与 a 不会发生很大的偏差。
但是，频率 m/n 与概率 p 的关系就不是这样了，不管试验次数 n 多么大，我们永远
不能保证频率 m/n 与概率 p 不会发生很大的偏差。

在这个意义上，说：“频率的极限并不等于概率”，是完全正确的。

但是，另一方面，频率 m/n 与概率 p 的关系，与变量与极限的关系，又有相似的地方。

虽然我们不能保证 m/n 与 p 绝对不会发生很大的偏差，但是，随着试验次数 n 的增大，
m/n 与 p 发生很大偏差的可能性，会变得越来越小，不发生很大偏差的可能性，会变得
越来越大。在这个意义上，可以认为：“随着试验次数 n 的增大，频率 m/n 与概率 p
会越来越接近”，这就很像微积分中变量与极限的关系了。

这样看来，说“频率的极限就是概率”，在某种意义上也是对的，并不完全是错误的。

fm1134

[这个贴子最后由fm1134在 2010/07/18 01:26pm 第 1 次编辑]

    如果在前M次试验中，其它各号球都已出现多次，唯独5号球没有出现过，那么是
否可以说，在以后的N次试验中，“5号球出现的次数大于其它球出现的次数”这件事
发生的概率要大于“5号球出现的次数等于或小于其它球出现的次数”这件事发生的概
率？即：P{在以后的N次试验中，5号球出现的次数大于其它球出现的次数}＞P{在以后
的N次试验中，5号球出现的次数等于或小于其它球出现的次数}是否成立呢？