五探素数与素数域——梅森素数数量无限 倪则均，2015年6月20日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，梅森素数的素性检测。
欧几里得在他的《几何原本》第九章命题36中证明了：若q为素数而Mq=2q-1为素数，N=2q-1（2q -1）是完全数。后来欧拉又证明了它的逆命题：每一个偶完全数均有欧几里得给出的形式。于是，比较严密的证明了梅森素数与偶完全数之间，是一种相辅相成的关系。二千多年来，大家最初是为了证明偶完全数的数量无限，而去研究梅森素数的，然而，似乎是从费马开始，就已经出现了喧宾夺主的现象。
现在大家对于偶完全数问题，几乎已经完全忘怀，然而对于梅森素数研究的热浪，却一直是久盛不衰，总是一浪高过一浪。法国数学家卢卡斯(Lucas，1842—1891)，早在1876年，就已经运用他所创造的梅森素数的素性检测方法，证明了M127=2127-1是一个素数，这是一个39位数，它是在计算机时代之前，所发现的最大的素数。直到1952年，Robinson才根据Lucas—Lehmer检测方法，运用计算机发现了M521和M607两个梅森素数。
不久就有人根据Lucas—Lehmer试验法，推出了一套专门寻找梅森素数的软件。由于运用这套软件，得花上几年时间，才能找到一个新的梅森素数。于是由Woltman倡议，在互联网上成立了一个名为“GIMPS”的组织，发动大家共同参与，他们的寻找梅森素数的行动。据说这个组织已经吸引了，世界各国成千上万人参加，煞是热闹，这是当今数学界的一道奇异风景。
下面笔者随即证明，在整个自然数里梅森素数的数量无限。既然梅森素数的数量无限，那么这种寻找梅森素数的事情，岂不是毫无意义，白白浪费自己的宝贵时光。再说这套软件似乎还是有些问题的，因为在整个自然数里，梅森素数的数量是决不会如此稀少。如果说这套软件是一张专门打捞梅森素数的鱼网，那么其中的漏网之鱼必定不少。因为根据Lucas—Lehmer试验法，可以编织出无限多张这样的鱼网，只有运用这无限多张这样的鱼网，才有可能将整个自然数里的全体梅森素数，全部打捞干净。至今大家一共找到以下四十八个梅森素数，其指数p依次为：
2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127，521，607，1279，2203，2281，3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937，21701，23209，44497，86243，110503，132049，216091，756839，859433，1257787，1398269，2976221，3021377，6972593，13466917，20996011，24036583，25964951，30402457，32582657，37156667，42643801，43112609，57885161。最小的一个梅森素数为22-1=3，只有它是属于第1层的素数，其它全部都是0层素数。同时这个最小的梅森素数，也是最小的一个费马素数，或许将它看作为费马素数更为恰当。
2，Catalan的猜想。
笔者一直认为1876年，对于梅森素数的研究来说，是一个极其至关重要的一年。因为正是在这一年，西方数学对于梅森素数的研究，既开始走上了完全依赖于计算机的歪路，但是也出现了一个充满希望的幼芽。Lucas—Lehmer试验法，从理论上来讲实在太晦涩难懂了，简直有些玄虚。从实际应用上来说，也实在太繁琐复杂了，简直是笨拙透顶，凡此种种充分说明了，电脑永远不能替代人脑。
也是在这一年，Catalan猜想，下面的0层生成序列，可能是一个梅森数序列，或许它们全部都是素数。Catalan的这个猜想，应该引发于此年早些时候，Lucas对于C4=M127的素性证明。其实，Catalan的这个猜想是对的，问题是对于它的证明，根本就不应该运用Lucas—Lehmer试验法，通过电子计算机去予以证明的，因为不管如何先进的计算机，它们的运算速度及容量都是有限的。
至于C5=M170141183460469231731687303715884105727是不是一个素数，至今还无法予以证明，因为这是一个1037位数，对于如此庞大的一个数，连得今天最高速的电子计算机，也都显得无能为力了。其实，这个Catalan序列，实际上是一个比较特殊的迭代序列，它们的迭代始数为2的指数，也是上一个迭代序列的迭代结果：
C1=22-1=3=M2，C2=2^C1-1=7=M3，C3=2^C2-1=127=M7，
C4=2^C3-1=170141183460469231731687303715884105727=M127，
…，Cn+1=2^Cn-1=MCn。                                    （A）
梅森素数Mq=2^q-1不是这个数的正形，它的正形为2qk+1形数，需要通过以下转换得到：Mq=2^q-1=2^q-2+1=2[2^（q-1）/2-1）（2^（q-1）/2+1]+1。显然这个转换为正形的过程，实际上也是一个分解过程。由于上述迭代序列的最初迭代始数是3，所以它们的以下正形会变得更其规律：
C1=2k1+1，C2=2(C1)1k2+1，C3=2(C1)2(C2)1k3+1，…，Cr=2(C1)r-1(C2)r-2…(Cr-2)2(Cr-1) 1kr+1，Cr+1=2(C1)r(C2)r-1…(Cr-1)2(Cr)1kr+1+1…，Cn+1=2C1nC2n-1…Cn1kn+1+1。          （B）
其中k1=（C1-1）/2，k2=（C2-1）/2C1，…，kn+1=（Cn+1-1）/2C1nC2n-1…Cn。
3，一个梅森素数序列
显然，上面那个迭代序列也是极其规律，然而，只要其迭代结果一旦出现合数，那么这个极其严格的规律，立即就会被彻底打破，此后将会出现另一种完全不同的规律。如果Cr=2^Cr-1-1是所出现的第一个合数，那么不管它可以分解成多少个素因子之积，这些素因子的2的周期必定都为Ck-1，也就是同周期分解。若是假设Cr=2^Cr-1-1=qp是两个素数的乘积，那么随后的Ck+1=2^Ck-1=2^qp -1，可以有下面二种分解方式：
（2^q）^p-1=（2^q-1）[2^q（p-1）+2^q（p-2）+…+2^q+1]
=t1[2^q（p-1）+2^q（p-2）+…+2^q+1]
（2^p）^q-1=（2^p-1）[2^p（q-1）+2^p（q-2）+…+2^p+1]
=t2[2^p（q-1）+2^p（q-2）+…+2^p+1]
t3=[2^q（p-1）+2^q（p-2）+…+2^q+1]/t2= [2^p（q-1）+2^p（q-2）+…+2^p+1]/t1
其中的t1=（2^q-1）是一个梅森素数，可以正形为t1=2qj1+1。t2=（2^p-1）也是一个梅森素数，可以正形为t1=2pj2+1。t3则是一个0层2阶数，其正形为t3=2qpj3+1。显然，这三个数的乘积t1t2t3=（2qj1+1）（2pj2+1）（2qpj3+1）≠2qpj4+1=2Crj4+1。由此证明，上面的那个极其规律的迭代序列，只要其中有一个的迭代结果为合数，那么这个极其严格的规律，立即就会被彻底打破，此后将会出现另一种完全不同的规律。
当然，上述这种情况是绝对不可能出现的，这是因为这个迭代序列的首项，其迭代始数为C0=2，迭代结果为C1=3，从而构成产生一系列重因子分解的条件，造成原有的重因子不断地发展壮大下去，新的重因子又源源不断地生长出来，使得这个极其规律的迭代序列，不仅不可能被打破，而且它还会永远不断地发展壮大下去。这样也就保证了每一项的迭代始数都可以整除其迭代结果与1的差，使得每一次迭代结果都是素数，由于这是一个无限序列，从而证明了梅森素数的数量无限。
我总觉得，Lucas—Lehmer试验法根本就是一条旁门左道，互联网上的“GIMPS”组织，简直就是毒害数学爱好者们的精神鸦片，它葬送了不知多少人的青春年华。这种情况的出现，应该也是西方数学的第四次危机的反映，仍然属于唯心主义的数学的范畴。现在我既然已经证明了梅森素数的数量无限，那么大家总该醒一醒了吧。然而，现在好象还有许多人在互联网上，跟着“GIMPS”组织转，我不理解真理的推广为什么如此的艰难！