六探素数与素数域——关于循环群的问题 倪则均，2015年6月24日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，费马缺乏循环群的概念。
早在1640年，费马就已经在给弗瑞尼科（Bernard Frenicle de Bessy）的一封信里指出：如果p是素数，且a与p互素，则a^(p-1)-1可以被p整除。这就是关于素数性质的第六条定理，现在大家称之为费马小定理。既然有了费马大定理和费马小定理，那么就一定还有一个不大不小的费马定理，这就是关于素数性质的第七条定理：若p是素数，则a^p≡a（mod p）。对于这两条费马定理，似乎运用下面的方法予以证明，更为清晰明了：
当a=1时，由于1的任何次方都是1，因此有：1^p≡1（mod p）；
当a=2时，a可以分拆为：a=1+1，于是有：2^p=（1+1）^p=1+1CP+2CP+…+P-1CP+1，这个展开式之中，只有首尾两个1不能被p整除，因此有2^p≡2（mod p）；
当a=3时，a可以分拆为：a=1+2，于是有：3^p=（1+2）^p=1+1CP×2+2CP×2^2+…+P-1CP×2^(p-1)+2^p，这个展开式之中，同样只有首尾两项不能被p整除，于是得：3^p≡2^p+1（mod p），由于已证2^ p≡2（mod p），因此有3^p≡3（mod p）；
…；
如果当a=n时有：n^p≡n（mod p），那么就有：（1+ n）^p=1+1CP×n+2CP×n^2+…+P-1CP×n^(p-1)+n^p，这个展开式之中，同样只有首尾两项不能被p整除，于是得：（1+n）^p≡1+n（mod p），至此，我们运用数学归纳法证明，只要a是素数群里的一个元素，都有a^p≡a（mod p）。如果将此式式的两边都除以a，即得：a^(p-1)≡1（mod p）
上述费马定理，实际上已经给出了对于素数域的定义：如果以素数p作为模数，那么它对于整个自然数的全体剩余，将构成一个素数域，不妨将其表示为Hp。所有的素数域都是由其两个子群所组成的。凡是与模p互素的数称为欧拉数，Hp素数域里的全体欧拉数，特别称之为Φp素数群，其数量专门称之为欧拉函数，表示为φ（p）=p-1。
在Hp素数域里，尽管只有一个可以被模p整除的元素p，然而这一个元素，同样是Hp素数域里的一个子群。Hp素数域里的元素1，既是一个欧拉数，也是一个因子数，更是一个乘法单位元。显然，费马给素数群所定义的运算为幂运算，由于乘方是乘法的发展，乘法是加法的发展，减法、除法、开方是加法、乘法、乘方的逆运算，因此，费马给素数群所定义的运算则是包括乘方和开方在内的四则运算。
其实，费马对于循环群的概念，是完全缺乏认识的，他不知道在他的素数群里，必定存在着一个被称为生成元的元素g，它的1至p-1次方，则生成素数群的全体元素，因此素数群就是一个循环群。正是由于费马缺乏循环群的概念，所以它的数论还是比较浮浅，这也是他对于费马素数估计错误的根本原因。
2，高斯的原根必定存在缺乏证明。
1801年，高斯的《算术研究》出版，此书的第一节定义了模m同余。第二节证明了整数素因子分解的唯一性，求解同余方程ax+b≡c（mod m），还研究了欧拉函数φ（m）问题。第三节研究了模素数的幂剩余，其基础就是费马小定理。他还引进了原根及指数的概念，并指出如何运用它们来计算。第四节集中证明了互反律。第五节和第六节是二次型理论，占了全书的大部分篇幅。第七节实际上属于代数学，讲的是分圆方程及正多边形的作图理论。
高斯所引进的原根，并不是什么新的创造，高斯的原根实际上就是循环群里的生成元，只是被高斯专门将素数群里的生成元，特别称之为原根而已。高斯说素数的原根必定存在，当然这是对的，但是，高斯对此却没有给此比较严密的证明。素数的原根原理，是一个极其重要的概念，许多十分复杂的问题，都可以运用这个原根原理，将它们予以简单化处理。
高斯认识到一个素数群里的原根，其数量是非常之多的。对于Φp素数群来说，其中的原根的数量，必定为欧拉函数φ（p-1）。因此，只要设法能够找到其中的一个，那么其它的φ（p-1）-1个，全都可以依次顺藤摸瓜地得到。然而，高斯教给大家得到第一个原根的方法，却是最最笨拙的试算的方法，当然，这是一个极其繁琐的方法，毫无科学规律可言。
陈景润在他的《初等数论》里，抄录了高斯对于互反律的一个初等证明，然而这个证明却是错的。冯克勤在他的《平方和》里，介绍了高斯的二次型理论，然而这个理论同样也是错的。二个错误一个根源，那就是对于自然数的性质问题，我们只能通过初等方法去予以认识，决不能运用实数理论，更不能运用复数理论去予以认识。因为这两个理论至今还很不成熟，它们正有待于我们运用初等理论的方法去予以完善。
现在的一般数论书上都说，当m=2，4，pk，2pk（p为不等于2的素数，k=1，2，…）时，它们的Φm欧拉群，以及它们的所有的子群全部都是循环群。那么除此之外，是不是还有其它的循环群了呢？有！当然有！！其实所有的商群，也全部都是循环群，只是这个循环群的元素，全部都是一个个集合而已。
在我们今天的数论里，初等数论只是其中极小部分的内容，其绝大部分的内容，则是由高斯的错误理论，所发展起来的代数数论，当然这也是完全错误的。哈代的解析数论，则是由错误的代数数论所发展起来的更加错误的理论，应该属于错误的多次方吧！华罗庚的不能骑着自行车上月球，杨乐的不能运用斧锯去造航天飞机，都是只许大家只能运用完全错误的理论去证明“哥猜”。
3，群论反而将一切都搅糊涂了。
过去我曾错误的认为，我在数论里所碰到的关于循环群的问题，特别是对于素数原根必定存在的证明，群论一定能给我一个满意的答复，一定能为我释疑解难的，因为它是专门研究群的数学分支。然而，当我找来群论，反复读了几遍之后，却让我大失所望，我万万没有料到，群论竟然将一切的一切全都搅糊涂了。
首先是对于群元的运算问题，群论说群元的运算只有加法群，或是乘法群两种，这明明是睁着眼睛说瞎话，完全无视费马素数群的客观存在。似乎群论根本就不懂，乘法是加法的发展，乘方是乘法的发展，因此，只要有了加法，就一定会有乘法和乘方，反过来也是一样的，只要有了乘方，就一定会有乘法和加法。所以，群论硬是将加法与乘法割裂开来的做法，完全是不科学的，甚至是反科学的。
其次是群论将大家对于群的研究，胡乱给锁进了“公理化”的牢笼，他们完全是闭着眼睛，硬是对大家的群的研究，贴上了四个封条：第一个封条是封闭化，第二个封条是结合律，第三个封条是单位元的存在，第四个封条是全体群元的两两结对互逆关系。然而，全体群元的两两互逆关系，绝对不是什么不证自明的公理，而是必须经过严密证明的定理。对于这个两两结对互逆定理，似乎只能运用我国南宋时期，秦九韶的“大衍求一术”去予以证明，然而，群论肯这样做吗？这个脸他们丢得起吗？
最初的群论将循环群定义为：对于群G来说，如果存在一个元g∈G，使得群G的所有元都可表成g^n的形式，其中n是某些整数，即G={g^n：n∈Z}。则称G是循环群，或者群G是由元g∈G生成的。称g为群G的生成元。然而，当今所盛行的“抽象代数”，则将循环群定义为：称〈G，*〉为循环群，如果G为群，且G中存在元素g，使G以{g}为生成集，即G的任何元素都可表示为g的幂（约定e=g0），这时称g为循环群G的生成元。
数学需要抽象，也必须抽象，然而却不能作反复的多次抽象，更不能把被抽象的事物的实质内容全部抽空。高次抽象的结果，往往是既蒙蔽了读者，也糊涂了自己，他们常常会闹出，自己不知道自己到底在研究什么的笑话来。例如高斯的门生戴德金就说，数学是心灵的自由创造，言下之意就是，数学可以任凭你去任意的胡思乱想，不管你想到那里，都是他们的“数学”。他们的这种“数学”是不需要经过实践检验的，也无法经过实践检验的。
拉格朗日首先发现，一个已知方程式的根，可以运用另外一个辅助方程式的根的对称函数予以表示。拉格朗日所构造辅助方程式，就是对原本方程的全部的根，所作的一种置换。因此,可以说我们今天的群论，实际上是以置换群作为其基础，而发展起来的一个数学分支。这个作为群论基础的置换群，居然无法解释循环群，竟然不能剖析素数群。然而，作为数论里的素数群却是可以清楚的说明，所谓的置换群到底是一个什么东西的。