七探素数与素数域——揭示素数群的构造 倪则均，2015年6月27日。

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（西汉杨雄的《太玄经》上说：“夫物不因不生，不革不成。
故知因而不知革，物失其则；知革而不知因，物失其均。”）
1，对于素数环的简介。
对于奇素数p来说，p-1必定是一个偶合数，我们将模数p-1的全体剩余，特别称之为素数环，表示为Hp-1。素数环属于合数环的范畴，是我们以后要着重研究的课题，然而，本文将要证明素数群与素数环之间的同构关系，从而揭示素数群内部的构造规律。因此，我们不能不对素数环的内部构造规律，先作一些比较简单的介绍。所谓简介，就是只述不证。
在数论里，我们将Hp-1素数环里的全体元素，称为模数p-1的完全剩余系，将与模数p-1互素的元素集合称为既约剩余系。我们应该不难证明，这个既约剩余系就是一个群，这是Hp-1素数环里的一个欧拉群，表示为Φp-1，将其中的元素特别表示为φi，其元素的数量为φ（p-1）。其实在Hp-1素数环里，有着为数十分众多的构造子群的，Φp-1欧拉群只是其中的一个最为主要的构造子群。
由于p-1必定是一个偶合数，因此，2一定是其一个素因子，除了费马素数环之外的其它的素数环，全都还会含有一些其它的奇素因子。我们将偶合数p-1的因子数集合表示为D（p-1），并将其中的因子数表示为di。当偶合数p-1为n个不同素数的乘积时，D（p-1）因子数集合里的元素的数量为2^n。
D（p-1）因子数集合里的每一个因子数di，与Hp-1素数环全体元素的乘积diHp-1，都构成Hp-1素数环的一个子环。显而易见，diHp-1子环是Hp-1素数环里，所有含有因子数di的元素集合。di=1与Hp-1素数环全体元素的乘积1×Hp-1，仍为Hp-1素数环全体元素。di=2与Hp-1素数环全体元素的乘积2×Hp-1，则为Hp-1素数环里的全体偶元素。
D（p-1）因子数集合里的每一个因子数di，与Φp-1欧拉群全体元素的乘积diΦp-1，则构成Hp-1素数环的一个构造子群。显然，diΦp-1构造子群是Hp-1素数环里，仅仅含有因子数di的元素集合。因此，diΦp-1构造子群里的每一个元素，与diΦp-1构造子群全体元素的乘积，仍为diΦp-1构造子群的全体元素。它们与Hp-1素数环全体元素的乘积，则为diHp-1子环全体元素。全体构造群的并集合，即为Hp-1素数环的全体元素，这就是高斯的欧拉函数之和的实质内容。
下面我们不妨通过一个实例予以具体说明，当奇素数p=11时，其素数环H10={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其欧拉群Φ10={1，3，7，9}，其因子数集合D（10）={1，2，5，10}。于是得到其四个子环为：1×H10={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，2×H10={2，4，6，8，10}，5×H10={5，10}，10×H10={10}，2×H10∩5×H10=10×H10={10}。其四个构造子群为：1×Φ10={1，3，7，9}，2×Φ10={2，4，6，8}，5×Φ10={5}，10×Φ10={10}。它们的并集为：Φ10∪2×Φ10∪5×Φ10∪10×Φ10= H10。
2，剩余方阵与原根问题。
费马小定理告诉我们：如果p是素数，且a与p互素，则a^(p-1)-1可以被p整除。这就是说，若是将Φp素数群里的p-1个元素，按照由小到大的顺序排列，并且以它们作为乘幂运算的底数，那么它们的1至p-1次方，就会构成一个剩余方阵。我们根据上述那个实例，即可写出其下面的剩余方阵。
在下面这个剩余方阵里，其第一列与最后一行由于全部都是1，所以此行与此列相同。其实，在上面这个剩余方阵里，其各列与各行都是完全相同的，只是大家不易一眼就能看出而已。然而，如果我们换一个角度，再重新来观察这个问题，一切都会变得十分清晰明了。显然，在素数11里，其中元素2的周期为10，正是此素数的一个原根，因此，Φ11素数群里的十个元素，都可以运用2的1至10次幂去予以表示：
2^1≡2（mod 11），2^2≡4（mod 11），2^3≡8（mod 11），2^4≡5（mod 11），2^5≡10（mod 11），2^6≡9（mod 11），2^7≡7（mod 11），2^8≡3（mod 11），2^9≡6，（mod 11）2^10≡1（mod 11）。
乘方                                        底            数
                1        2        3        4        5        6        7      8      9        10

方
        1        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
        2        1        4        9        5        3        3        5        9        4        1
        3        1        8        5        9        4        7        2        6        3        10
        4        1        5        4        3        9        9        3        4        5        1
        5        1        10        1        1        1        10        10        10        1        10
        6        1        9        3        4        5        5        4        3        9        1
        7        1        7        9        5        3        8        6        2        4        10
        8        1        3        5        9        4        4        9        5        3        1
        9        1        6        4        3        9        2        8        7        5        10
        10        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1
那么，我们就可以将上面的那个剩余方阵，运用原根2的各次幂去予以替换。当然，我们还可以将上面的那个剩余方阵，仅仅运用原根2的各次幂指数去予以替换。从而将整个运算方式，由素数群的乘方运算，转变成为素数环的乘法运算，当然这是一种幂指数之间的乘法运算，于是它们的模数也由p转变为p-1。
因此，上面那个剩余方阵的各个列的运算，变成了H10素数环里的每一个元素，与H10素数环里的全体元素的乘积。而上面那个剩余方阵的各个行的运算，则变成了H10素数环里的每一个元素，与H10素数环里的全体元素的乘积。根据乘法结合律可以知道，上面两种运算的，应该完全相同，从而即可证明上面那个剩余方阵的各列，与其各行是完全相同的。
至此大家必定要问，如果2不是奇素数p的一个原根，那么它们的剩余方阵的各列，与其各行还能完全相同吗？其实，如果2不是奇素数p的一个原根，那么它在Φp素数群里，总会有一个周期的，若是它的周期为di，即有2^di≡1（mod p）。于是可知2必定是一个（p-1）/di次剩余，则有g^（p-1）/di≡2（mod p），这样也就证明了素数的原根必定存在，只要素数的原根必定存在，那么它们的剩余方阵的各列，与其各行也必定完全相同。
3，素数群与素数环的同构。
由于我们已经证明了奇素数p的原根g必定存在，并由此证明了在它们的剩余方阵里，它们的行与列之间，必定是两两对应等同。其实，我们还可以更进一层看到，它们的φ（φ∈Φp-1欧拉群）次剩余里的元素，必定是Φp素数群的全体元素，这就是说，在Φp素数群里必定有着φ（p-1）个原根。也就是说Φp素数群里的原根集合，必定对应着Hp-1素数环里的Φp-1欧拉群。其实，我们在剩余方阵的列里，更可以发现其首项为g^φ的元素，正是Φp素数群里的原根，因为它们生成得到的是Φp素数群里的全体元素。
同样，我们在剩余方阵的列里，也可以发现其首项为g^2φ的元素，正是Φp素数群里的亚根，因为它们生成得到的是Φp素数群里的全体二次剩余，显然，亚根的数量为φ[（p-1）/2]个。…，我们在剩余方阵的列里，还可以发现其首项为g^diφ的元素，它们所生成得到的是Φp素数群里的全体di次剩余，其数量为φ[（p-1）/di]个。由此可见，剩余方阵的各次剩余的生成元集合的并，正是Φp素数群的全体元素，它们的数量关系是是高斯的欧拉函数之和。
其实，在剩余方阵里，其Φp素数群里的φ（p-1）个原根，它们的φ（p-1）个φ次剩余，实际上就构成了一个置换群。其φ[（p-1）/2]个亚根的2φ次剩余，同样也构成了一个置换群。其φ[（p-1）/di]个di次剩余的生成元，φ[（p-1）/di]个diφ次剩余，又何尚不能构成了一个置换群。例如在上述实例里，其1次剩余里的原根集合为S1={2，6，7，8}，其3次剩余里的原根集合为S3={8，7，2，6}，其7次剩余里的原根集合为S7={7，8，6，2}，其9次剩余里的原根集合为S9={6，2，8，7}。
至此，我们已经严密证明了，Φp素数群与Hp-1素数环之间的同构关系，因此，我们完全可以Hp-1素数环的内部构造规律，得知Φp素数群的内部构造规律。当然，Hp-1素数环的内部构造规律，我们又得根据构成它们的素数域去予以认识，对此，笔者在一探素数与素数域——素数的生成与分类里，已经明确指出素数与合数之间，完全是一个相辅相成的关系，我们既要通过素数去认识合数，又要通过合数去认识素数，这是一种不断地相互予以认识的过程，也是一个螺旋式的共同的提升过程。