圆面积推导公式的逻辑错误（修订版）

门外汉

(注：原版中的证明不尽详细，以本修订版证明为主。)
我们上小学时便已熟知圆面积的计算公式，设一圆的半径为r，则圆的面积S＝πr^2，那么，这个公式是怎么推导出来的呢？圆面积的计算公式有很多的推导方法，在经典的数学教学中，有一个非常简单易懂的推导方法，下面以图示的方法来进行说明：

如上图所示，将一个半径为r的圆均分为16等分，将上半部分和下半部分分别展开并交替嵌合在一起，则拼成为一个类似于平行四边形的图形，如果分的份数越多，每一份就会越小，那么拼成的图形就会越来越接近于一个长方形，将圆分成无穷多份并上下交错拼合出来，则最后组成的图形便是一个严格的长方形，由图中可以看出来，该长方形的宽便是圆的半径r，而长便是圆周长的一半即πr，所以该长方形即圆的面积便为πr^2.
这个推导的过程非常的浅显易懂，连小学生都会轻易的弄懂其原理，这里称这种方法为“化圆为方”法。
那么，这个推导方法确实是天衣无缝，没有任何错误的吗？我们常会说的一句话是：“真理再往前走一步就是谬误”，如果我们再深入一步的探究其内在原理，便会惊异的发现，其实这个推导方法居然是存在逻辑错误的，下面进行说明：
如图中所示，当将圆均分为16等分时，每一部分实际上是一个扇形，将其展开所组成的上下两条边长其实并不是一条平直的线段，而是由8条圆弧所组成的波浪形状的起伏弧线，所以拼成的图形只不过是近似于长方形的图案而不是长方形。
如果分的份数越多，那么上下两条边长就会无限的接近于平直的线段，但这也只是说明它会无限的接近于线段而不是真正的线段。
那么，究竟要分出来多少份，最终组合而成的图形才是一个真正的长方形而不是近似于长方形呢？下面分两种情况来分别进行论述：第一种情况是圆只能分割出有限份，另一种情况是圆可以分割出无限份。
第一种情况：圆只能分割出有限份：
设圆的面积为1，将圆做n等分，每一份扇形的面积便是1/n，这里n的取值范围是自然数集N中的所有自然数，由皮亚诺公理可知：自然数集合N中的元素是无穷多的，但每一个自然数都是有限的，不存在无穷大的自然数，因此，无论n取任何一个自然数，所分割出来的份数都是有限的。
下面以扇形的弧心角来进行论述：因为整圆为360度，将圆做n等分，则每一份扇形的弧心角便为360/n，因为n无论取任何一个自然数都是有限的自然数，所以360/n的值必然大于0，无论弧心角有多小，只要弧心角大于0，那么所分割出来的每一份扇形的面积必然大于0，其弧长也必然大于0，则由n个扇形上下嵌合所拼出来的图形的上下两条边实际上是由n/2个圆弧所构成，并不是真正数学意义上的线段，因此，将圆分割出有限份的情况下，所拼出来的图形便不是真正的长方形，无法求出圆的真实面积。
下面讨论第二种情况：圆可以分割出无限份。
所谓的将圆分割出无限份，是指：分割出来的的扇形的份数大于任何一个自然数，即为无限份，如果圆能够分割出无限份，则仍然分两种情况来分别进行讨论：
第一种：当将圆分割出无限多份后，每一份分割出来的扇形的弧心角仍然大于0，则，分割出来的每一份扇形的面积仍然大于0，其弧长也大于0，则由此组合而成的图形的上下两条边仍然是由无数条圆弧所构成，不是真正意义上的线段。这种情况下仍然求不出圆的真实面积。
第二种情况：如果圆分割出无限多份后，每一份分割出来的扇形的弧心角等于0，则扇形便会重合成为一条长度为r的线段，其面积为0。也就是说：该圆最终被分割成为无穷多条长度为r的线段，再将这无穷多份长度为r的线段拼接出来，则所拼出的图形的上下两条边的边长才是真正严格意义上的线段而不再是近似于线段的波浪线，那么所拼出来的图形才是真正的长方形，但由此引发出来的逻辑问题是：每一份的面积为0，其无穷积分也仍然为0，即总面积为0。这就出现了逻辑错误。
而且，如果圆被分割成了无穷多条的线段，还会引发另一个逻辑矛盾，那就是半圆的面积会等于整圆的面积，下面以图示来进行说明：

如上图所示，将圆水平分割为上下两个半圆，取上半圆，如果圆被分割成为无穷多条面积为0的线段，则半圆弧上的每一个点与圆心o之间都有一条线段相连，也即是无穷多条半径（图2），将半圆弧ab展开成为一条平直的线段ab，每一条半径都与线段ab垂直，则构成一个长为半圆弧长πr，宽为半径r的长方形，由于线段ab是连续的，在线段上不存在任何空隙，则与线段ab垂直的所有相互平行的垂线之间也不留有任何的空隙，则下半圆的无穷多条线段不能再嵌入到图形之中，这也就是说：半圆的面积就等于整圆的面积，由此构成矛盾。
综上所述，在运用分割圆的方法推导圆面积公式的过程中，无论是将圆分割成有限份还是无限份，都不能求出圆的真实面积，并会因此导致逻辑矛盾。
但在用这种方法证明圆面积公式的过程中，有另外一种解释，就是：在分割圆的过程中，分的份数越多，扇形的面积越小，当小到一定程度时（无穷小，尽管这个词很不严谨并且易产生歧义），便可将扇形近似的看做是小三角形，再通过无穷多的小三角形面积的积分求出圆的真实面积，其实，这种方法同样是存在逻辑矛盾的，下面用图示的方法给以说明：


上图中，将圆无限分割后，每一份扇形“成为”无穷多面积无限小的小三角形，根据切割方法可知，每一个三角形都为等腰三角形，两边的腰长为圆的半径r，底边是长度无限小的微小线段，顶角无限小，由于三角形的底边是线段，所以无穷多个小三角形组成的长方形的上下两条边便是真正的线段，但问题是：该组成的长方形的宽度究竟是多少？
从图中可以看出来，无穷多个三角形的腰长为圆的半径r，但组成的长方形的宽度却并不是腰长，而是三角形的高，根据初中几何知识可以非常容易的证明：等腰三角形的高一定小于腰长，证明方法很简单：做等腰三角形的高，将等腰三角形分为左右两个面积相等的直角三角形，则高便是直角三角形的一条直角边，可以证明：直角三角形中斜边最长，也即是等腰三角形的高小于腰长。
所以这由无穷多个三角形拼合出来的长方形，其宽实际上为三角形的高，因为等腰三角形的腰长等于r，而高小于r，所以该长方形的面积必小于πr^2，也即是圆的面积小于πr^2，由此构成矛盾。
而如果令等腰三角形的高等于等腰三角形的腰长r，则等腰三角形的顶角为0度，这样三角形就会变成一条面积为0的线段，仍然推导出如前文所述的逻辑矛盾。
综上所述，在用这种“化圆为方”的方法推导圆面积公式的过程中，无论是哪种情况，都会产生逻辑矛盾，说明圆的面积不能用这种方法以及类似于这种的方法求出。

红树

圆无限分割，圆接近长方形，分割越多，圆越接近长方形，圆的面积公式S＝πr^2是正确

红树

正n边形的面积公式:Rsin(180°÷n)*Rcos(180°÷n)*n，R半径
圆的面积公式S＝πr^2是正确，必定有πr^2>Rsin(180°÷n)*Rcos(180°÷n)*n
圆的面积公式S＝πr^2是错误，必定有πr^2<Rsin(180°÷n)*Rcos(180°÷n)*n

红树

正n边形的面积公式:Rsin(180°÷n)*Rcos(180°÷n)*n，R半径，R=1
计算机验证圆的面积公式S＝πr^2是错误
sin(180°÷10000000000)*Rcos(180°÷10000000000)*10000000000>π

红树

计算机出现问题吗？

门外汉

红树 发表于 2019-2-18 15:23
计算机出现问题吗？

用计算机算圆面积，当然会出错，因为计算机对无穷无能为力

门外汉

红树 发表于 2019-2-18 09:07
圆无限分割，圆接近长方形，分割越多，圆越接近长方形，圆的面积公式S＝πr^2是正确

长方形的宽等于等腰三角形的高，
等腰三角形的腰等于r，
等腰三角形的高小于腰，则高小于r，
则长方形的宽小于r，
则长方形的面积小于πr^2,
则圆的面积小于πr^2，
将上面的逻辑关系弄清楚了，就会知道圆的面积推导公式错误。