请大侠们证明下面两个表达式是有理数

冠冠

[这个贴子最后由冠冠在 2010/07/23 08:37pm 第 1 次编辑]

如图，能够证明这个，我敢说，是很了不起的。谢谢！
补充:图片提到的组合是加法上，例如±a,±b的加法组合有a+b a-b -a+b,-a-b

elimqiu

冠冠

我这两天有事还不能细看你的解答，不过8月3号前我一定给你回复。如果你真的证对了，你应该是这个论坛中很强的人物了。恭喜。

冠冠

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对于①，你的证法是对的，至于②这个连乘关于a1,a2,...,an对称，我个人认为这是模糊的说法，您看是否可以表述得清晰些呢？至于结论，你说因为个连乘关于a1,a2,...,an对称，所以这个连乘为有理数，这个是高等代数中的结论吗？也请明示。

申一言

①比较好证：
      （±√an）ˇ2k=（an）ˇk
②则必须证连乘积是完全平方数？

elimqiu

下面引用由冠冠在 2010/07/24 09:42am 发表的内容：
对于①，你的证法是对的，至于②这个连乘关于a1,a2,...,an对称，我个人认为这是模糊的说法，您看是否可以表述得清晰些呢？至于结论，你说因为个连乘关于a1,a2,...,an对称，所以这 ...

②的证法的确较抽象，但不含糊。对称是指不管如何重排a1,a2,...,an，表达式不变。对称多项式是高代的标准内容。多项式的变元只以其非负整数幂的形式出现，在此自然不会是无理数。
既然对称，每个av 都以其非负整数幂的形式出现，这样的东西的积，和当然还是有理数。
我如果有更初等直观的证法，又不繁琐，会再贴出来。也欢迎诸位介绍高招。

冠冠

下面引用由申一言在 2010/07/24 00:37pm 发表的内容：
①比较好证：
      （±√an）ˇ2k=（an）ˇk
②则必须证连乘积是完全平方数？

      （±√an）ˇ2k=（an）ˇk 这样的写法我有点疑惑，因为±an并不单独存在，它还和其他前面的带正负号的(n-1)个数形成一个加法组合。
②是说这2^n个组合形成的数全部相乘，证这个乘积是有理数。欢迎发表你的解决办法！谢谢~

冠冠

我念过点高等代数，好像没有学过这样的结论。希望能早点看到你更直观的证法。同时也期待其他高手的解法。谢谢。

elimqiu

这个证明是对原来的证明的一点改进。离高代的典型说法更近了一点。