请教luyuanhong老师两个函数是否相等

数学小不点

请教luyuanhong老师：如果在x取极限的情况下：有f(x)/g(x)=1,能不能说：当x趋于某一数或无穷时，f(x)/g(x)=1，所以f(x)=g(x),或者说对于同阶的无穷小及无穷大，当x趋于某一数或无穷时，我们可以理解为此时有f(x)=g(x)成立呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
确切的说:应该是对于等价的无穷小和无穷大，可不可以认为他们取极限状态下，其实可理解为相等。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/07/26 02:55am 第 1 次编辑]

下面引用由数学小不点在 2010/07/26 01:13am 发表的内容：
当x趋于某一数或无穷时，f(x)/g(x)=1，所以f(x)=g(x),或者说对于同阶的无穷小及无穷大，当x趋于某一数或无穷时，我们可以理解为此时有f(x)=g(x)成立呢？

[color=#DC143C]


不能！
例如：x≠1时f(x)=(x-1)^2+1，x=1时f(x)=0
      x≠1时g(x)=x，x=1时g(x)=2
这时有x趋于1时，f(x)与g(x)的极限都是1，但f(1)=0≠g(x)=2。

白新岭

例如，F(x)=x^2,  G(x)=x^2+1,它们的比值极限为1 ,F(x)/G(x).
但是永远不会相等。

luyuanhong

楼主的问题说得不太清楚，我猜想，应该是下面这样的问题：

数学小不点

感谢luyuanhong老师的解答，我说的其实就是（1）中的情况，不过，我遇到的是等价无穷大的极限值是否相等，即：当x趋于无穷大的比值为一时的情形。

数学小不点

比如白新岭所说的的情形，x^2+1与x^2在x趋于无穷大时，其比值为1，所以我们说：x^2+1与x^2相等，这样讲，是不是正确呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
当然应是x趋于无穷时，两个函数值取极限相等，故比值为1。

luyuanhong

下面引用由数学小不点在 2010/07/28 01:15am 发表的内容：
比如白新岭所说的的情形，x^2+1与x^2在x趋于无穷大时，其比值为1，所以我们说：x^2+1与x^2相等，这样讲，是不是正确呢？-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在  时添加 -=-=-=-=-
当然应是x趋于无穷时，两个函数值取极限相等，故比值为1。

当 x→∞ 时，(x^2+1)/x^2→1 ,即 x^2+1 与 x^2 的比值的极限等于 1 。
但是，当 x→∞ 时，x^2+1→∞ ，极限不存在，x^2→∞ ，极限也不存在。
两个极限都不存在，不存在的极限，是不能说“相等”的（除非你自己另外作规定），
所以，我们不能说“当 x→∞ 时，x^2+1 与 x^2 的极限相等”。

数学小不点

实际上，当 x→∞ 时，x^2+1 与 x^2 确实无限趋于一致”，或者说：我们在工程计算时，只要x足够大，用x^2来代换x^2+1计算，所得结果完全可以满足使用的需要，因为他们的比值无限趋于1，所以从某种意义上讲，如果认为他们在x→∞ 时，最终极限值趋于一致应该也是可以说的过去的，不知luyuanhong老师认为，我们这样理解是否也有一定道理呢？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
把无穷大作为一个存在的极限值不也是一种可以接受而毫无矛盾的结果吗？

luyuanhong

下面引用由数学小不点在 2010/07/28 09:15pm 发表的内容：
实际上，当 x→∞ 时，x^2+1 与 x^2 确实无限趋于一致”，或者说：我们在工程计算时，只要x足够大，用x^2来代换x^2+1计算，所得结果完全可以满足使用的需要，因为他们的比值无限趋于1，所以从某种意义上讲，如果认为他们在x→∞ 时，最终极限值趋于一致应该也是可以说的过去的，不知luyuanhong老师认为，我们这样理解是否也有一定道理呢？

说 “ x→∞ 时，x^2+1 的极限与 x^2 的极限相等”，肯定是不对的。
说“ x 很大时，x^2+1 与 x^2 可以看作近似相等”，这是可以的。
但是，要强调这样几点：
（1）x 很大时，x^2+1 与 x^2 是“近似相等”，不是“绝对相等”。
（2）这里说的“近似相等”，并不是说，它们之间的差的绝对值非常小，
事实上，x^2+1 与 x^2 的差，始终等于 1 ，并不会随着 x 增大而变小。
这里说的“近似相等”，意思是说，它们之间的差 1 ，相对于 x^2+1 与
x^2 本身来说，随着 x 的增大，相对来说，1 就显得很小。

luyuanhong

下面引用由数学小不点在 2010/07/28 09:15pm 发表的内容：
把无穷大作为一个存在的极限值不也是一种可以接受而毫无矛盾的结果吗？

按照现在数学中的规定，只有当一个变量的极限，是一个唯一确定的非无穷大的值时，
才能说这个变量的极限存在。
所以，如果一个变量的极限趋于无穷大，按照规定，就应该认为这个变量的极限不存在。
你要打破现在数学中人们普遍接受的规定，把无穷大作为一个存在的极限值，当然也可以。
但是，大家是不是都愿意接受你自己提出的这一新的规定，那就很难说了。