存在唯一的通过四点 A(0,12),B(10,9),C(8,0),D(-4,7) 的正方形，求此正方形的面积

luyuanhong

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天元酱菜院

设 A点所在边与B点所在边交于E
    B点所在边与C点所在边交于F
    C点所在边与D点所在边交于G
设GF方向的单位矢量为  cosa i + sina j   （0<=a<=90度）
    FE方向的单位矢量为  - sina i+ cosa j

有：
[矢量DB]在[矢量GF方向]上的投影： （10+4） cosa +（9-7）sina         为正方形边长
[矢量CA]在[矢量FE方向]上的投影：  （0-8）（-sina)+（12-0） cosa     也为正方形边长

即：2cos a - 6sin a = 0   依据前设 0<=a<=90度
可解出： cos a=3/根号10； sin a= 1 /根号10

所以，正方形边长：44/根号10
所以，面积：1936/10  或 193.6
  （与陆老师前述方法结果相同）

天元酱菜院

与上述方法本质一样，可考虑坐标系旋转变换，（选定矢量GF方向为新的x轴方向，即设i矢量旋转a角后平行于GF矢量）
对任意（x,y）点，新坐标为 （x cosa + y sina ， -x sina + y cosa）
所以： A坐标（12sina, 12cosa）;
         B坐标（10cosa+9sina, -10sina+9cosa）
        C坐标（8cosa, -8sina）
        D坐标（-4 cosa+7sina， 4sina+7cosa)

正方形边长= A点纵坐标 与C点纵坐标之差 = B点横坐标与D点横坐标之差。
即：边长= 12cosa +8sina = 10cosa+9sina -(-4cosa+7sina)  
         12cosa+8sina =14cosa +2 sina
以下计算相同

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的解答很好。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。