【趣题征解】证明：用这种方法，可以既不遗漏、也不重复地生成一切正有理数

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/04 00:29am 第 2 次编辑]

elimqiu

很有意思. 由 (p,q) = 1 ←→ (p,p+q) = (q,p+q) = 1
知道“下一代”的确由互素的分子分母确定。
任给正整数 m，n， 设 m < n, (m,n) = 1, 令 m+n 为 m/n 及 n/m 的模。如果 m/n 或 n/m 不能由有限次“下一代”的过程产生，那么不能如此产生的分数中就有最小的模。不妨设它正是 m + n, 那么 m/(n-m) 或 (n-m)/m 至少有一个也不能由“下一代”的过程得到，但它们有更小的模。这个矛盾表明任何正有理数都是有限次“下一代”的过程的产物。
易见 m/n, n/m 分别有唯一的上一代 m/(n-m) 及 (n-m)/m. 这表明每个正有理数的出生链都是唯一的。所以主贴给出的表中不会有重复的元。

luyuanhong

楼上 elimqiu 的证明正确。
根据这种生成方法，还可以建立一种全体正有理数与全体正整数的一一对应关系：

elimqiu

大部分教科书关于这种对应只作了存在性和解释性的介绍。这里的对应可以放到习题中去加深认识。zhaolu48 好像也抱怨过没有这种具体给出的对应。

wangyangkee

wangyangkee

luyuanhong

参看我在《数学中国》论坛发表的帖子：
“全体正有理数与全体有限位二进制小数的保序一一对应”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=11402

trx

一切有理数皆可化解为分数————这是数学最基本的原理，不值得大惊小怪！！

changbaoyu

值得大惊小怪的是什么？？？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
论述的都是一解其知，各有所长！都非常好。习过！此谢！二〇一一年二月

zhaolu48

下面引用由elimqiu在 2010/08/04 05:40pm 发表的内容：
大部分教科书关于这种对应只作了存在性和解释性的介绍。这里的对应可以放到习题中去加深认识。zhaolu48 好像也抱怨过没有这种具体给出的对应。

我几乎在各个领域里的基础知识与能力都远不如陆教授。
因此我只能抱怨，而不能解决这一问题。
可能这一问题你早就知道了，故意留给陆教授的，也可能陆教授是在你的指导下才做出来的，你才是这个论坛的唯一权威。
“这里的对应可以放到习题中去加深认识。”
陆教授这样重要的发现与创新，只佩放在先生的习题中，不知先生有什么更重要的发现与创新。
在我看来陆教授的这个发现，比陈景润证明的1+2更有意义，尽管不算太难。
意义的大小不在于其难易。
阿拉伯数字现在看来很简单，学龄前的儿童都可以学。但也是经过很多年几代人的努力才完善到今天的程度。
牛顿的力学三定律很难吗？高中生就可以学习。尤其是第一定律，看上去那么简单。可他之前的人们却都视而不见。