圆面积推导公式的逻辑错误（微积分版）

门外汉

先前所写的圆面积推导公式的逻辑错误所使用的是“小学版”的“化圆为方”的方法（将圆分割为无穷多个小扇形拼成一个长方形），所谓一法通，万法通，下面用与此一模一样的逻辑来推导出高等数学中“微积分版”的圆面积推导公式的逻辑错误。
    用微积分推导圆面积公式的方法有很多种，现仅介绍其中的一种微积分版本的证明思路，先上图：

在上图中，给出一个半径为3的圆，均分为n个相同宽度的同心圆环，我们先将最外侧的那个最大的同心圆环展开，便得到一个近似的长方形，它的长度为圆的周长2πr，设它的宽度为dr,那么这个圆环的面积约等于2πr乘以 dr，dr越小，就越能接近它的真实面积。
现在这个整圆便被分解为n个由圆环变形展开的长方形，长度由大到小依次递减。
建立一个平面直角座标系，横座标为r，将所有的长方形依次对应排布到座标系上，便得到一个近似的直角三角形，该三角形的底边为圆的半径3，高度为最外侧的最大圆环变形而成的长方形，为2πr。
之前提到，长方形的宽度dr越小，就越能接近圆的真实面积，当dr极小时，便组成一个直角三角形，它的面积恰好等于πr^2，由此证明圆的面积为πr^2。
应该说，上述的证明方法思路是正确无误的，但正所谓真理再往前走一步就是谬误，下面指出上述证明中存在的逻辑错误：
  首先，将圆最外侧的那个最大圆环变形展开，会发现，它并不是一个长方形，因为圆环的宽度大于0，则它的外圆周长必大于内圆周长，外圆周长为2πr，内圆周长则小于2πr，因此将这个圆环展开后更近似于是一个梯形。由于梯形是不规则图形，无法排列到平面直角坐标系上，所以我们需要将这个梯形再变形为一个长方形，这个变形的方法具体如何操作在此不做叙述，总之，变形之后的长方形其高度（按纵座标而言）必小于2πr，因为如果它的高度等于2πr，面积便大于原来梯形的面积，所以它的高度必小于2πr。
又因为这个由圆最外侧的最大圆环变形而成的长方形在平面直角坐标系上构成直角三角形的一条直角边，如果它的高度小于2πr，则构成的三角形的面积小于πr^2或无法求得圆的真实面积。
  我们在操作的全过程会发现，只要是圆环的宽度大于0，那么最外侧的那个最大圆环展开后便是一个梯形，再变形为长方形后其高度必小于2πr，则三角形的直角边的高便小于2πr，便无法求出圆的真实面积。
总结来说就是：只要圆环宽度大于0，便无法求出圆的真实面积。
那么，什么样的情况下才能求出圆的真实面积呢？只有一种情况：即圆环的宽度等于0，这样最外侧的最大圆环变形展开后便是一条线段，其高度恰好等于2πr，将所有的无穷条线段依次排列到座标系上，所构成的图形便是真正严格意义上的直角三角形，其底边为圆的半径3，高为2πr，三角形的面积恰好等于πr^2，这也就是圆的真实面积。
但由此引出的逻辑问题是：如果所有圆环的宽度为0，则变形展开的所有长方形的宽度dr为0，其面积也为0，这样，由无穷多条面积为0的线段所构成的三角形，它的无穷积分也为0（注：微积分中dx的值不能为0，否则无法积分），即圆的面积的积分为0，由此构成逻辑矛盾。
总结：在将圆做同心圆环的无限划分的全过程中，如果圆环的宽度大于0，无法求出圆的真实面积，如果圆环的宽度等于0，则圆面积的无穷积分为0，由此导致无法解决的逻辑悖论。
   

lkPark

这是你的问题，实际上化圆为方已经很好地解决了圆面积公式，在小三角无限增多的情况下曲线无限逼近直线并不存在计算误差！

lkPark

点和线是不能填充面积的。

lkPark

πr曲线由无限个小三角变成直线，此态小三角不明及其底边不明，并且此时边高x到达极值r，边高x由πr曲线变直而不断增大至极值r，懂了吗？门外汉！独此解释。

lkPark

你的错误在于明确了无限个小三角的形状！

lkPark

lkPark 发表于 2019-2-24 14:35
你的错误在于明确了无限个小三角的形状！

大师圣言。

门外汉

lkPark 发表于 2019-2-23 13:45
这是你的问题，实际上化圆为方已经很好地解决了圆面积公式，在小三角无限增多的情况下曲线无限逼近直线并不 ...

如果讨论化圆为方的逻辑问题，请到我的另一个帖孑里具体讨论，本帖讨论的是微积分方法中的“化圆为三角形”方法，具体说说其中所涉及到的逻缉问题，所以，不要跑题啊

lkPark

在此你犯了同样的逻辑错误：你确定了无限对象长方形的状态，而这是不可以的。

lkPark

你所说的梯形是近不存在的，实际上随着条带数目无限增加条带越接近长方形而阶梯形边越接近直线，这并不存在你所谓的计算悖论。

门外汉

lkPark 发表于 2019-2-24 08:24
你所说的梯形是不存在的，实际上随着条带数目无限增加条带越接近长方形而梯形边越接近直线，这并不存在你所 ...

除非圆环宽度等于0，否则，只要圆环宽度大于0，展开后必然是一个梯形，这个还用我证明吗？