f(x) 为偶函数，f(x)=0 有唯一的实数解，证明：必有 f(0)=0

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

f(x) 為偶函數， f(x) = 0 有唯一的實數解，則 f(0) = 0  為什麼?

luyuanhong

题 f(x) 为偶函数，f(x)=0 有唯一的实数解，证明：必有 f(0)=0 。

证  首先证明：当 x≠0 时，不可能有 f(x)=0 。

    因为假如有 f(x)=0 ，x≠0 ，则因为 f(x) 为偶函数，所以必有 f(-x)=f(x)=0 。

    这就与已知 f(x)=0 只有唯一实数解发生矛盾，所以 x≠0 时，不可能有 f(x)=0 。

    但是，又已知 f(x)=0 必有实数解，既然 x≠0 时，不可能有 f(x)=0 ，那就只有

当 x=0 时，有 f(x)=0 ，也就是说，必有 f(0)=0 。