一球面上有 A,B,C,D 四点，AB,AC,AD 两两垂直，AB=3 ，AC=4 ，AD=5 ，求此球体的体积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

球面上四點A,B,C,D且AB,AC,AD 兩兩垂直; AB=3,AC=4,AD=5, 求此球體體積

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题  一球面上有 A,B,C,D 四点，AB,AC,AD 两两垂直，AB=3 ，AC=4 ，AD=5 。

    求此球体的体积。

解  以 AB,AC,AD 为棱作一个长方体，设通过 D 点的主对角线为 DD' 。

设 DD' 的中点为 O 。以 O 为球心、以 OD 为半径作一个球面。

因为 O 是长方体的中心，O 到长方体各顶点的距离相等，所以有 OA=OB=OC=OD 。

可见，A,B,C,D 四点都在以 O 为球心、以 OD 为半径的球面上。

因为过不共面的四点，只能作一个球面，所以上述球面显然就是题目所给的球面。

这球面的半径 OD ，等于长方体主对角线 DD' 长度的一半。为

      √(3^2+4^2+5^2)/2 = √(9+16+25)/2 =√50/2 =5√2/2 。

所以，球体积为  V = 4πr^3/3 = 4π(5√2/2)^3/3 = 125π√2/3 。