我与图论1943谈极小五色地图的问题

雷明85639720

我与图论1943谈极小五色地图的问题
雷  明
（二○一五年八月二十一日）

图论说：
昨天你在网上发的“四色猜测的更简单证明方法”一文我看到了。我认为：1、你证明在平面内不存在K5的证明是没问题的。2、问题在于对坎泊的思路的理解会有不同。你认为“极小的正规五色地图”就是K5。人家坎泊可能指的是：只要证明在平面（或球面）内不存在一张极小的正规五色（用四种色涂区不了的）地图就够了。3、我说的不一定对。供你参考吧。
我回复：
“极小的正规五色地图”并不是K5，而是它的对偶图才是K5。这个K5也是在平面内不能用四种颜色区分的，当然与它对应的“极小的正规五色地图”在平面上也就是不存在的。
K5图画在平面（球面）上时，一定有边与边在非顶点处相交叉，这说明K5图是不能嵌入在平面或球面上的。但K5图画在环面（轮胎面）上时，却不存在边与边在非顶点处的交叉现象，这说明K5图是可以嵌入在环面（轮胎面）上的。这也就说明了K5图的对偶图——极小的五色正规地图在平面或球面上也是不存在的。但这样的地图在环面（轮胎面）面上却是存在的。既然平面上不存在极小的正规五色地图，那么，按坎泊的思想，这就可以证明四色猜测是正确的了。
图论回复：
回复雷明：1、你说：（“极小的正规五色地图”并不是K5。）是对的。这是较细致地考虑概念表现，很好。我认为说：（“极小的正规五色地图”的对偶图是K5）也不对。前者是平（球）面图，其对偶图必是平（球）面图，不可能是非平（球）面图K5。2、至此，我想你能理解人家坎泊的“极小的正规五色地图”是平（球）面图。你的那篇文是有毛病的。3、我说的这两条不一定对，供你和网友参考吧。
我回复：
图论1943朋友，我的文章可能有毛病，但我认为不是你说的那种毛病。坎泊说的是：要证明四色猜测，只要证明平面或球面上不存在极小五色地图就可以了。当然采用反证法证明时，一定是假设平面或球中存在极小五色地图的，也就是说假设这个极小五色地图是平面图。然后在出现了矛盾的结果时，再否定假设，说明平面或球上是不存在这种地图的。即然假设平面或球面上存在这种地图，那么这种地图的对偶图一定是K5。你说说它不是K5该是什么呢。极小五色地图是五个区划两两均相邻的地图，把各区划的中心城市按各国相邻的情况用边连接起来后，你说这个图不是K5是什么呢。在肯定了其对偶图是K5后，再说明K5图是一个非平面图，不能嵌入到平面（或球面）上而只能嵌入到环面（轮胎面）上有什么不可以呢。即然K5图不能嵌入在平面上，那么K5图的对偶图——极小五色地图也就不可能存在在平面上，而只能存在在环面上。的却环面上是存在这个五色地图的，这也是环面上区划数最少的一种地图了。所谓“最小”就是在五色地图中，“国数”最少的地图，那么这个“最少”的“国数”一定是5而不可能比5更小。因为在这种情况下的地图就不可能是五色的了，而是其色数比5更小，根本谈不上极小的五色地图了。所以我认为你说的：“前者是平（球）面图，其对偶图必是平（球）面图，不可能是非平（球）面图K5。”（你在这里的“前者”是指的是极小五色地图”，“后者”指的是K5图。）这一说法是不对的。你说说“前者”的对偶图是什么呢，最好是能把它画出来。
图论回复：
1、先说“极小的正规五色地图”是坎泊想象中的地图，是想象中的平（球）面图，是不存在的。
2、由于它不存在，所以不仅画不出它来，而且它的对偶图我也画不出来。我认为它的对偶图也不存在。自然不应是K5了。
3、但是，由于它是想象中的极小的正规五色地图，也就是说它是地图；所以它必是平（球）面图；所以它若有对偶图A的话，A必也是平（球）面图，A不可能是非平（球）面图K5.
4、以上是我的理解。我认为我的理解很可能是一般人的理解。你（雷明）及有的人有其它的理解也是很正常的，各自保留吧。以上4条不一定对，供你和网友参考吧。
我回复：
图论1943：
1、现在的问题就是要证明这个想象中的地图是不存在的。你的1在没有证明前最好是不要先下结论“是不存在的”。
2、如你2中所说，坎泊提出的这个想法“要证明四色猜测成立，只须证明平面中不存在极小五色地图就足够了”的说法就是错误的。且这里你已经认为极小五色地图在平面中的“不存在”，那么不就说明了四色猜测是正明确的了吗，你还去证明它是否是对的干什么呢。
3、你既然认为极小五色地图是平面图，那么就一定能作出它的对偶图。极小五色地图中任何区划均与其他的四个区划相邻，那么其对偶图中的任何一个顶点也就必然与其他四个顶点都相邻，这是必然的结果，这就是极小五色地图的对偶图。这个对偶图实际上就是K5图，而K5图是不能嵌入平面的，所以极小五色地图也是不能嵌入在平面上的，即平面上是不存在极小五色地图的。
4、我认为我的理解应该是对的，也是一般人的理解。我们的理解不同，那就只好各自保留看法了。
图论1943看到我修改后的《平面或球面上不存在极小五色地图的证明方法》后，回复说：
网友雷明：看到一楼处你的文章后认为有两处可能有问题：1、正文中第3行“由于极小的正规五色地图中任两两（后一个两字应为“个”字）国家都是相邻的，。。。”。为何“都是相邻的”？2、第8行“。。。。。一张极小五色地图，这五个国家。。。。。”。这后一个五是哪来的？我认为是你马虎得来的。
    我提的此两条不一定对，供你参考吧。
    另外，有人已证明了区域个数小于52的所有平面图的色数都不大于4；所以，要找那类图应在区域（国家）数不小于52的范围内找。这点也不一定对，说出来供你和网友们参考而已。
我回复：既是极小五色地图，那就是这张地图的国家数是最少的，因为又是五色的，所以至少要有五个国家。两两国家都是相邻的，就是五个国家中任两个国家都有一段共同的边界线。如果极小五色地图中有两个国家是不相邻的，那么就有两个国家可以着同一颜色，就不可能称其为五色地图了。所以我认为我没有马忽，我认为极小五色地图就是这个意思，仅管它是不存在的，但因为在这里是作为假设条件的，所以我还得按存极小五色地图的情况去分析。


雷  明
二○一五年八月二十二日于长安

注：此文已于二○一五年八月二十二日在《中国博士网》上发表过，网址是：