ΔABC 内接于 x^2/a^2+y^2/b^2=1，C(0,b)，ΔABC 各顶点椭圆切线都平行于对边，求面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

首先 做仿射变换： 【x】 =   X;   【Y】= (a/b)Y;        ( 【Z]=Z; )

有   【X】^2 +【Y】^2 =a^2 ;
——这是圆的方程

  C点在变换后的坐标：(0,a)
过C点切线方程  0*[x]+a*[y]=a*a, 即  [y]=a，此为平行于【X】轴的直线

由于仿射变换不改变平行关系，不改变切线关系。所以，AB直线亦为平行于【X】轴的直线。设为[y]=G

A点坐标设为（X1，G), B点坐标设为（X2，G) , (X2>X1)
有： X1^2+G^2=X2^2+G^2=a^2    (他们都在圆上)；
因为 X1^2+G^2=X2^2+G^2, 所以， X1^2=X2^2,  所以， X1=-X2， X2>0

由于A点切线平行于CB直线,
-X2.[X]+G【Y】=a^2,平行于  [Y]=(G-a)/X2 [X]+a

即：X2/G = - (a-G）/X2
         (注意,因a是半径，所以a>|G|，同时，上面已有X2>0)

即X2^2=-（a-G）*G ,  (所以，这里又有G<0)
但A点 (-X2,G)在圆上，所以又有 X2^2+G^2=a^2
解出：
G=[a - (a^2+8a^2)^(1/2) ]/4 = (-1/2) a
X2=【a^2-1/4a^2】^(1/2)= （（根号3 ）/ 2）  a

所以，A点坐标： （- 根号3/2 a, -a/2）, B点坐标（根号3 /2 a, a/2） C点坐标：（0，a)

以下再做仿射变换恢复到原来的坐标系，x=[X],  Y=(b/a)[Y]
A点 （- 根号3 a/2 ， -b/2）， B点（根号3 a/2 ， -b/2），C点 （0，b）

所以，三角形ABC面积： 3根号3* ab/4

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补充说明： 其实，若某三角形三顶点均在某圆上，且过各顶点的圆的切线，均平行于三角形对边，则这个三角形必然是正三角形。

上述A点、B点坐标本可以直接得出。

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解法：