平面或球面上不存在极小五色地图的证明方法

雷明85639720

平面或球面上不存在极小五色地图的证明方法
雷  明
（二○一五年八月二十七日）

我前几天写了一篇题为《四色猜测测的更简单证明方法》一文，按照坎泊的“要证明四色猜相成立，只要证明不存在一张极小的正规五色地图就足够了”的思想，采用了反证法，先假没平面或球面上存在这么一张极小的正规五色地图，那么它就一定是一个3—正则的平面图，由于极小的正规五色地图中任两两国家都是相邻的，所以其对偶图就应是一个K5图，又因为K5图是一个非平面图，在平面或球面上是不存在的，所以其对偶图——两两国家都相邻的极小正规五色地图——也就在平面或球面上也是不存在的。从而也就证明了地图四色猜测是正确的。文章发出后，有几个网友进行评论，说单从K5不是平面图这一点上说，还不能说就证明了四色猜测。我也很好的想了一下，这些朋友说的也有一定的道理，似乎这样的证明是有点欠妥。
现在我就从3—正则平面图的角度来证明平面或球面上是不存在极小正规五色地图的。
现在假设平面或球面上存在这么一张极小五色地图，这五个国家间两两国家都是相邻的。这个地图中有5个国家即5个面，每个国家都与其他四个国家相邻，即每个国家均有四条国界线，5个国家共有20条边界线，因为两个国家的边界线都是共有的，所以该地图中实际的边界条数只是10条（即该地图中只有10条边）。因为3—正则的平面图的边与顶点有
3v（v是顶点数）＝2e（e是边数）               （1）
的关系，把极小五色地图的边数10代入其中，得到的顶点数不是整数，而顶点数不是整数年的图本来就是不可能的事。这就出现了矛盾，应否定假设。所以平面或球面上是不存在极小五色地图的。按照坎泊的思想，地图四色猜测就是成立的，是正确的。
对地图面上的着色就是给其对偶图的顶点着色。由于地图（3—正则平面图）的对偶图是一个极大图，所以又因地图四色猜测的成立，即任何地图的色数都不大于4，地图四色猜测是正确的，也就又有极大平面图的四色猜测也应是正确的，即任何极大平面图的色数也都不会大于4。
极大平面图的色数不大于4，由极大平面图通过减边或去顶而得到的任意平面图的色数只会减少，而决不会增加。这也就证明了任意平面图的色数也是不会大于4的，平面图的四色猜测也是正确的。
到此，就证明了四色猜测测是正确的。现在就可以把四色猜测变成四色定理了。
雷  明
二○一五年八月二十七日于长安

注：此文已于二○一五年八月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：