试证：对正实数 x,y,z，恒成立不等式 x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2≥x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000回来

对于两正数的序列{an},{bn},若有:a1≥a2≥a3≥。。。≥an与b1≥b2≥b3。。。≥bn
有下结论：a1b1+a2b2≥a3b3+...+anbn
            ≥a1bi+a2bj+...+anbk
            ≥a1bn+a2bn-1+。。。+≥anb1
其中bi,bj,bk是b1,b2,...,bn的一个排列.

以上定理可简单记忆为同序积之和大于乱序积之和,大于倒序积之和.



应用上面的定理,可证 x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2≥x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y
事实上,容易证明:与x,y,z,与x^2y^2,y^2z^2,z^2x^2同序
而z,x,y或z,y,x与x^2y^2,y^2z^2,z^2x^2是乱序或倒序
所以x*x^2y^2+y*y^2z^2+z*z^2x^2≥z*x^2y^2+x*y^2z^2+y*z^2x^2
既:x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2≥x^2y^2z+y^2z^2x+z^2x^2y

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000回来 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。