A 是 {1,2,…,15} 的子集，A 中任何三个元素的乘积不是完全平方数，求 n(A) 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  集合 A 是 S={1,2,…,15} 的子集，A 中任何三个不同元素的乘积不是完全平方数，

    求 n(A) 的最大值。

解  S 中三个不同元素的乘积能够成为完全平方数，有且仅有下列几种情形：

    1×2×8 ，1×3×12 ，1×4×9 ，

    2×3×6 ，2×4×8 ，2×5×10 ，2×6×12 ，2×7×14 ，2×8×9 ，

    3×4×12 ，3×5×15 ，3×6×8 ，3×9×12 ，

    5×8×10 ，5×12×15 ，

    6×8×12 ，6×10×15 ，

    7×8×14 。

    其中用到最多的是 2（用到 7 次），3（用到 6 次）和 8（用到 7 次）。

    将 2，3，8 除去后，剩下的情形是：

    1×4×9 ，5×12×15 ，6×10×15 。

    再将其中用到 2 次的 15 去掉，剩下的情形是：

    1×4×9 。

    再去掉其中的一个数，例如去掉 1 ，就可以使得剩下的 A 中，任何三个不同元素的乘积

都不是完全平方数。

    这时 A={ 4，5，6，7，9，10，11，12，13，14 } ，n(A)=10 。