【转载】一道数学游戏(数论方面)

trx

一道数学游戏(数论方面)
当一个锐角三角形的三边满足什么关系时，至少有一边不是正整数？（注意：这个关系式中不容许涉及其它参数；这个关系式中不容许用不等式）。这个关系式如何证明？

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/08/16 05:01am 发表的内容：
一道数学游戏(数论方面)
当一个锐角三角形的三边满足什么关系时，至少有一边不是正整数？（注意：这个关系式中不容许涉及其它参数；这个关系式中不容许用不等式）。这个关系式如何证明？

这样的关系式可以写出很多：
例如：a^2*b^2＝3c^2 ，显然满足此式的边长 a,b,c 不可能都是正整数。
又例如：a^3+b^3＝c^3 ，显然满足此式的边长 a,b,c 也不可能都是正整数。

trx

下面引用由luyuanhong在 2010/08/16 11:57am 发表的内容：
这样的关系式可以写出很多：
例如：a^2*b^2＝3c^2 ，显然满足此式的边长 a,b,c 不可能都是正整数。
又例如：a^3+b^3＝c^3 ，显然满足此式的边长 a,b,c 也不可能都是正整数。

那是锐角三角形吗？

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/08/16 01:15pm 发表的内容：
那是锐角三角形吗？

trx

这是本人转载来的，无解答。
【当一个锐角三角形的三边满足什么关系时，至少有一边不是正整数？（注意：这个关系式中不容许涉及其它参数；这个关系式中不容许用不等式）。这个关系式如何证明？】
本人的理解是：“注意：这个关系式中不容许涉及其它参数”即不许为计算数据，则为几何作图关系式，当然三边又不能都是已知的，否则失去意义了！
该如何作图再后证？

trx

本人认为：该命题的解应为当一个锐角三角形的一边长和另一边高为整数时，至少有一边不是正整数。
敬请陆老师审鉴！！

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/08/16 08:45pm 发表的内容：
本人认为：该命题的解应为当一个锐角三角形的一边长和另一边高为整数时，至少有一边不是正整数。
敬请陆老师审鉴！！

trx

陆老师审鉴有理！但本人思路没错，表述关系式中条件不严造成。不然合乎命题的锐角三角形是会很多的（因只是二条件求作锐角三角形）。
此命题之解绝对不是正三角形，陆老师的√3可为一长度单位时已皆为整数则不合题意。
本人之见解不知陆老师意何？？

luyuanhong

    这题目本来就说得不清楚，可以有多种不同理解。我的理解是：

要求一个 a,b,c 的关系式 f(a,b,c)=0 ,如果有实数 a,b,c 是一个锐角三角形
的三条边长，而且 a,b,c 又满足这个关系式，那么，a,b,c 不可能都是正整数。

注意：这个问题是要求的是一个关系式 f(a,b,c)=0 ，并不是要求一个锐角三角形。

    例如，我给出一个关系式 a^2*b^2=3c^2 ，是满足这个条件的。
    设 a,b,c 是一个锐角三角形的三条边长，同时又满足关系式 a^2*b^2=3c^2 ，
这时必有 a*b=√3*c ，即有 c=a*b/√3 ，如果 a,b 都是正整数，显然这时 c
不可能也是正整数。
    又例如，我给出一个关系式 a^3+b^3=c^3 ，也是满足这个条件的。
    设 a,b,c 是一个锐角三角形的三条边长，同时又满足关系式  a^3+b^3=c^3 ，
我们都知道，根据 fermat 大定理，a^3+b^3=c^3 不可能有正整数解，所以，这时
a,b,c 不可能都是正整数。

trx

   再次提醒陆老师，在几何作图中（甚至在代数论理中），任何一长度量（或任何一大物理量）都可视为整数1来作讨论的！！！
   因此本命题中的整数必为三边之长相对而言，则勾股原理可解此困！！
   敬请陆老师三思！！！