请luyuanhong老师来谈谈非标准分析中的无穷大的问题

数学小不点

能否请luyuanhong老师来谈谈，在非标准分析中，对于无穷大如何处理？

ygq的马甲

在极限理论中，无穷大是“潜无限∞”，而在非标准分析中，无穷大遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑规则。
因为实数是已经连续的，任何在一个数轴上的、对实数的再“扩张、扩展、拓展ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”，是不可能完美的。举例来说，复数是二个数轴的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

“纯粹ｐｕｒｅ”数学，是要讲美学的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/18 08:45am 第 2 次编辑]

    在微积分初期发展阶段，数学家提出了无穷小和无穷大的概念，在微积分中，把无穷小量和无穷大量作为基本概念来使用。
但是，由于那时还没有建立微积分的严格的理论基础，人们对无穷小量、无穷大量的概念还有许多疑惑不解的问题，例如：
无穷小量到底等于不等于 0 ？如果无穷小量不等于 0 ，为什么在极限计算时可以将它当作 0 一样省略掉？
如果无穷小量等于 0 ，为什么求导数时可以将它作为分母？为什么无穷多个无穷小量累加起来可以不等于 0 ？
而且，由于大家不加限制地随便滥用无穷小量和无穷大量的概念，得出了一些荒谬的结论，推导出了一些明显错误的结果。
所以，后来数学家们开始对无穷小量、无穷大量的概念产生了强烈的怀疑和不满，产生了抛弃这些概念的想法。
    十九世纪中，Cauchy、Weierstrass 等人提出了处理极限的 ε-δ,ε-N 方法，建立了一套严格的微积分理论。在这套理论中
实际上排除了无穷小量、无穷大量的概念。我们现在大学里教学的、人们普遍接受和使用的，就是这一套传统的微积分理论。
在这套传统的标准的微积分理论中，有时也会说到“无穷小量”和“无穷大量”，但是，只是把它们当作 ε-δ,ε-N 方法的
一种临时性的、形象化的通俗说法，并不是把它们当作有严格定义的基本的数学概念来使用，实际上是对它们是尽量回避的。
正是因为这个缘故，所以在现在的数学书中，几乎看不到对“无穷小量”、“无穷大量”有像我那样的细致的形象的描述。
    二十世纪六十年代初，美国逻辑学家 Abraham Robinson 建立了一套“非标准分析（Nonstandard Analysis）”的理论。
他把无穷小量、无穷大量的概念重新引入到微积分中来，而且建立了一套在逻辑上十分严密的完整的理论。
在非标准分析中，可以把无穷小量、无穷大量作为实在的数学概念来使用，而且保证不会产生错误的结果和带来荒谬的结论。
    我是在几十年前读大学时，接触到这种非标准分析理论的，当时我主要阅读了这样几本外文数学书：
    Keisler,H.Jerome, Foundatons of Infinitesinal Calculus(无穷小微积分基础), Prindle,Weber & Schmidt,Inc.(1976)
    Davis,Matin, Applied Nonstandard Analysis(应用非标准分析), Jonh Wiley & Sons,Inc.(1977)
    Lutz,Robert & Goze,Michel, Nonstandard Analysis(非标准分析), Springer-Verlag Berlin Heidelberg(1981)
当时，很难看到这方面的中文的参考书，现在有没有这方面的中文书，我就不知道了，大概也非常少。
    我看了这些书以后，最大的收获，就是在脑子里建立了一幅关于无穷小量和无穷大量的生动具体的形象，对于微积分中许多
使人感到困惑、感到难以理解的问题，觉得一下子变得都很清楚、很容易理解了。
    罗宾逊（Robinson）建立的“非标准分析”理论，确实写得比较艰深，如果去读原文，确实很难读懂。
但是，根据我自己的体会，可以对“非标准分析”作一些改进，把它变成一种通俗易懂的理论，使得一般人也很容易接受。
    下面只能简单地说一下我的基本想法。我的想法大致上是这样的：
    我们都知道，从实数域扩充到复数域，只需要引入一个虚数单位元 i=√-1 就可以了。在实数域中，负数是不能开平方的，
i=√-1 这样的数，显然是不存在的。但是，如果我们在思想中作一个大胆的“跳跃”，承认虚数单位元 i=√-1 是一个数，
可以像实数一样进行各种运算，服从同样的运算法则。把虚数单位元 i=√-1 引入到实数域中，实数域就可以扩充为复数域，
整个一套复数的理论就可以建立起来了。
    我想，我们可以模仿这种做法，把实数域扩充为“超实数域”，也只需要引入一个“无穷单位元”就可以了。

定义  称 Ω 为“无穷单位元（Infinity Unit）”，它满足：
（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质，可以像一个正整数那样与其他的数比较大小，可以像一个
正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则。
（2）Ω 大于任何实数。

    显然，在实数域中，Ω 这样的数是不存在的。
    我们知道，实数有“阿基米德性”，即：“对于任何一个实数，总是可以找到一个比它更大的整数。” 如果 Ω 是实数，
它必定具有“阿基米德性”，可以找到一个比它更大的整数，这就与上面定义中的“（2）Ω 大于任何实数”发生了矛盾。
    所以，这样的 Ω 在实数中是不存在的。但是，如果我们在思想中作一个大胆的“跳跃”，承认无穷单位元 Ω 是一个数，
把无穷单位元 Ω 引入到实数域中，实数域就可以扩充为超实数域，整个一套“非标准分析”的理论就可以建立起来了。
    在超实数域中的无穷大量、无穷小量，都可以看作是由无穷单位元 Ω 生成的，例如：
    Ω＋１ ，Ω－１００ ，２Ω ，Ω／３ ，Ω^2 ，√Ω ，２^Ω ，lnΩ 等等，都是无穷大量；
    １／Ω  ，（Ω＋１）／Ω^2  ，１／√Ω ，２^（-Ω），ln（１＋１／Ω） 等等，都是无穷小量。
由于超实数域中的无穷大量、无穷小量都是由同一个无穷单位元 Ω 生成的，所以它们可以像普通的数一样做各种运算，例如：
   
    ５Ω－３Ω＝２Ω ，Ω^3 ／Ω＝Ω^2 ，（Ω＋１）^2－（Ω－１）^2＝４Ω 等等。
由于超实数域中的无穷大量、无穷小量都是由同一个无穷单位元 Ω 生成的，所以它们可以像普通的数一样比较大小，例如：
    ２Ω＞Ω ，Ω^3＞Ω^2 ，１／（Ω－１）＞１／Ω ，２^Ω＞Ω^2 ，Ω／１０＞lnΩ 等等。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/18 09:40am 第 3 次编辑]

下面是我在网上找到的一篇介绍“非标准分析”的文章：
       现代数学中的新理论——非标准分析

    20世纪60年代出现了非标准分析，它是利用数理逻辑方法来探讨和刻画微积分的理论基础，引起了人们的重视，
为数学开辟了新的研究领域。
    通常的数学分析，又称为标准分析，其主要部分是微积分学，它是以现实世界中的连续变量及其相互关系为研究
对象的数学分支。它的基本概念是在实数系范围内取值的变量和函数的概念，它的研究方法是极限理论。所以，标准
分析是指十九世纪柯西、魏尔斯特拉斯等人用极限方法所建立的微积分理论，他们在数学的证明中用极限方法代替了
无限小量方法，对微积分理论作了较严谨的逻辑论证，他们的理论比十七、十八世纪的微积分理论前进了一大步。这
表现在它创立了一系列判别法则，发现了关于函数的连续性、可微性的一些重要结果。
    围绕微积分的一场争论曾在18世纪初激烈进行。话可从牛顿时代说起。试看求y=x^2的导数。先取无穷小量Δx，
则Δy=(x+Δx)^2-x^2=2xΔx+Δx^2，即Δy/Δx=2x+Δx。又因为Δx是无穷小量可忽略不计，即得y/=2x。无穷小量Δx
在这里既不是0（可用Δx 去除），却又等于0（最后忽略不计，Δx就消失了）。这套办法似乎有点像变魔术。马克
思称略去⊿x是“暴力镇压”，大主教贝克莱则呼之为“逝去量的鬼魂”或“已死量的幽灵”（ghosts of departed
quantities）。这种把无穷小神秘化的做法确实不太好，“招之即来，呼之即去”，完全是神差鬼使的一套。然而不
管如何攻击，它的运算结果却总是对的。大数学家欧拉曾用这种不严格的微积分做出了辉煌的成果。渐渐地人们也不
再有异议了。
    到了19世纪，法国数学家柯西认识到，结论正确并不意味着体系完整，于是着手使“无穷小分析”严格化。这就
是著名ε—N和ε—δ说法，这个说法到19世纪70年代才由魏尔斯特拉斯完成。这种寓动于静，表示极限过程的描述，
把神秘化的外衣去掉了：所谓无穷小，不过是极限为0的变量而已。它不是“一个数”，而是一个变化过程，即不断向
常数0以误差可任意小进行逼近的一个变量。它的表示完全是算术化了的，ε，δ等的关系，明确无误，一目了然。然
而，“无穷小”不是数，不能直接除，也不能忽略不计，生动活泼的运算淹没在形式的海洋里，人们抱怨微积分越来
越难学。工程学家不理会对无穷小的批评，仍然沿用牛顿—欧拉时代的方便做法，把“无穷小”拿在手里不肯丢掉。
不过，“无穷小”在数坛上终究呆不住，20世纪以来，几乎销声匿迹，偶尔提到它，也不过是习惯性的名词介绍而已。
    1960年秋事情有了转机。数理逻辑学家阿伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson,1918~1974,生于德国的犹太人，
1962年去美国）在普林斯顿大学的一次报告中指出：现代数理逻辑的概念和方法能为“无穷小”和“无穷大”作为“数”
进入微积分提供合适的框架。1961年，罗宾逊在荷兰阿姆斯特丹皇家科学院学报上发表文章，题为《非标准分析》，
表明这一新数学分支已经呱呱坠地了。
    在标准分析里，研究的有理数和无理数的集合称为实数集合。实数集合与直线上的点一一对应，实数的集合是连
续的。在非标准分析里，罗宾逊的基本想法是：无穷小既然不是一个“数”，即在实数集合中没有它的位置，那么我
们是否能把实数集合扩大，使之成为新的超实数集合，而微积分在超实数集合中实施时，能够保持当年牛顿—欧拉时
代的直观和简便易行？罗宾逊用数理逻辑中模型论的方法做到了这一点。在超实数集合中，每一通常的实数是标准数，
它的周围聚集着许多“无穷小”（非标准实数），就像电子围绕原子核一样。在超实数集合中没有阿基米德性质，
即任取整数α和β，不一定都能找到自然数n，使nα＞β，因为无穷小是大于0的非标准实数，它的任意整倍数仍是无
穷小，不可能大于正标准数β。
    从“宏观”上看，超实数集合的数轴与实数集合的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同，在超实数轴上的每
一点内，有许多非标准实数。这些非标准实数彼此相差无限小量，形成了一个有内部结构的点，称为“单子”，每个
“单子”只有一个标准实数。从标准实数来看，点与点是连续的，从超实数轴来看，点与点是连续与间断的对立统一。
    从它的物理意义来说，如一条光线，从“宏观”看来，它是连续的，从“微观”看来不仅不连续，而且不均匀，
量子理论证明了光具有波动和粒子二像性，正表明了光是连续与不连续的对立统一。
    非标准分析为我们打开了一个新的世界——“点”的世界。任何一个“点”，都是一个“世界”；任何一个世界，
都是一个“点”，正如天外有天一样，点内又有点。在太阳系中，地球是一个“点”，它是有结构的，可分的，同
样分子可作为一个“点”，它有结构，是可分的。从数学上说，由更小的层次看来，在任何一个“点”中，都可以建
立坐标系，因为它是一个“世界”，由更大的层次看来，在任何一个“世界”都可以仅仅是坐标系的一点。非标准分
析接受了“点”的可分性的辩证法。
    这套数理逻辑的方法是相当烦琐的，要弄懂它比搞清微积分概念困难得多。但是无穷小毕竟堂而皇之地重返数坛，
成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，这是非标准分析给我们带来的“革命”信息，是令人高兴的事情。从哲学上
看，也自有它的意义。否定之否定，微积分学的基础又得到了新发展，真是“柳暗花明又一村！”
    1965年4月，罗宾逊写了《非标准分析》一书，广为流传。许多数学家对此表示支持，也有许多人表示怀疑。1973
年，罗宾逊在普林斯顿高等研究所遇到著名的哥德尔——本世纪最著名数理学家。哥德尔作了这样的评价：
“非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效。例如，对于紧算子具有
‘不变子空间’的定理就能大大简化。……我们有理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。
……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后300年，第一个严格的无限小理论才
发展起来。”
    哥德尔的评价使非标准分析更加受人重视。非标准的群论、非标准的泛函分析、非标准的拓扑，相继问世。基斯
勒（Keisler）写了一本非标准分析的微积分教科书，经过试教，据说接受情况良好，准备扩大试验。但是，对它抱怀
疑态度的人最近越来越多。理由是“凡用非标准分析能得到的结果，用原来的标准方法都能得到，既然没有新东西，
本身又那样难懂，何必去学它呢？”更有人认为非标准分析不过是数理逻辑学家在“想入非非”、“见异思迁”，实
在是多此一举。至于非标准分析是否能成为“未来世纪的数学分析”，恐怕要接受实践的检验，经受历史的考验。人
们接受一种新事物需要一个过程，尤其对于一种新说法、新装饰、更需要时间。要人们普遍使用非标准分析，简直就
像让人去说另一门外语一样难。哥德尔的预言是否正确，且看将来吧！不过，罗宾逊使无穷小再生的功绩将不会抹杀，
在数学史上一定会有一席地位的。

ygq的马甲

但是，对它抱怀疑态度的人最近越来越多。理由是“凡用非标准分析能得到的结果，用原来的标准方法都能得到，既然没有新东西，本身又那样难懂，何必去学它呢？”

？？？？？？
更象是一种近似的、简化的《方法》

luyuanhong

下面引用由ygq的马甲在 2010/08/18 10:28am 发表的内容：
？？？？？？
更象是一种近似的、简化的《方法》

“非标准分析”有一套精确、严格的理论和方法，不是什么“近似”的东西。
但是，说“非标准分析”能够“简化”标准的微积分理论和方法，这倒是对的。
“非标准分析”的最大的优点，就是可以让我们像处理普通的数量那样，来处理
无穷大量和无穷小量，可以使得微积分中，学生普遍感到难以理解、难以掌握的
ε-N ，ε-δ证明方法，变得容易理解，容易掌握。

ygq的马甲

下面引用由luyuanhong在 2010/08/18 02:00pm 发表的内容：
“非标准分析”有一套精确、严格的理论和方法，不是什么“近似”的东西。
但是，说“非标准分析”能够“简化”标准的微积分理论和方法，这倒是对的。
“非标准分析”的最大的优点，就是可以让我们像处理普通的数 ...

ε-δ 这种【极限】理论，并不是遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑的，但与“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑是相容的。
但“非标准分析”只遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑的。那么如何“近似”的 ？？？
其“近似”方法就是：将 ε 这种变量，分成一个一个“离散”的一组数值 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

“方法论ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ”上有一种方法，“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑按照级数【展开】式，转换成“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑

数学小不点

正如luyuanhong老师所指出的：非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效。例如，对于紧算子具有‘不变子空间’的定理就能大大简化。其实包含无穷大的数系理论的价值远不仅如此，我在研究泛函分析的理论中，发现实变函数论从集合论谈起，首先要做的就是拓广实数列收敛的意义，允许实数列收敛到无穷大，然后得出单调数列必有极限的定理（允许极限是无穷大，从而解除了许多定理中关于数列有界或有上界与下界的限制。实际上，实变函数理论允许承认无穷大是一个特殊的数，但教材中并不直接说明，论述含糊其词，不知为什么？承认无穷大是一个比任何数都大的特殊数，确实带来了诸多方便，可以轻松证明许多重大定理，能够更加清楚、明白、简洁的表达数学概念和理论，这难道不是很有意义的事情吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
不过，这个拓广出的无穷大确实与普通的微积分理论产生了一些迥然不同的性质或称为矛盾，不易被所有人接受之。