f：R→R 对任给 x∈R 有 f(x+19)≤f(x)+19 ，f(x+94)≥f(x)+94 ，试证：f(x+1)=f(x)+1

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

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补充说明： 前述，自一正一负两个和号相等，还只能推出前93个 u(X+19i)=0；和前18个V(X+94i)=0
前述叙述对任意自然数i ，是不妥的。（本处予以纠正）。但考虑f(x+T*19*94），这个T可以无限制地放大，如是，也可以使得i 大于任意举出的自然数。 ——不过，本题证明过程其实只需要获得 i=5, 即只需要 f(x+5*19)=f(x)+95，这一结论 即可顺利接续下来。
————
在一正一负两个和号相等之后，推出 u（x+19i)=0 , i=0,1,2,3，....93； v(x+94j)=0, j=0,1,2,3,.....18
接下来， 得到 f(x+19n)=f(x)+19n  （n=0,1,2,3,4，....93)，
f(x+94m)=f(x)+94m  (m=0,1,2,3...18)
就可以继续下去了。

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解法（其实与楼上的思路是一样的）：

天元酱菜院

从新整理了一下文字。 有个完整的交代。

天元酱菜院

本题所给的两个参数，19和94互质，所以，可以得到f(x+1)=f(x)+1

如果换两个有公约数的参数，例如，以12和27分别入替题目中的19和94，那么，我们可以证到
f(x+3)=f(x)+3; 而无法证明f(x+1)=f(x)+1.  事实上可以构造出反例，如利用取整函数【x】,
设f(x)=3*【x/3】  它确实能满足 f(x+12)<=f(x)+12; 和f(x+27)>=f(x)+27。也确实有性质f(x+3)=f(x)+3;  但确实不满足f(x+1)=f(x)+1

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。