证明在 (-∞,+∞) 上连续的周期函数必一致连续，证明 (sinx)^2+sin(x^2) 不是周期函数

wilsony · 发表于 2015-9-18 10:24

本帖最后由 luyuanhong 于 2015-9-20 23:53 编辑

证明：在（-无穷，+无穷）上连续的周期函数必在（-无穷，+无穷）上一致连续。由此证明：
sin^2(x)+sin(x）^2不是周期函数。

luyuanhong · 发表于 2015-9-18 10:51

题目中的 sin^2(x)+sin(x）^2 是不是 (sinx)^2+sin(x^2) 的意思？

wilsony · 发表于 2015-9-18 12:39

版主，是的！

wilsony · 发表于 2015-9-18 13:43

是的，版主！

wilsony · 发表于 2015-9-18 13:47

luyuanhong 发表于 2015-9-18 10:51
题目中的 sin^2(x)+sin(x）^2 是不是 (sinx)^2+sin(x^2) 的意思？

是的，版主！

wilsony · 发表于 2015-9-18 16:42

陆老师能否给个解答？

luyuanhong · 发表于 2015-9-18 17:38

wilsony · 发表于 2015-9-19 17:39

谢谢陆老师的精彩指教！
只是最后一步有点疑问，周期函数加上非周期函数为什么一定是非周期函数？如果用反证法证，周期函数
减去周期函数一定也是周期函数吗？如果两个周期函数的周期是两个不同的无理数，是不是会出现否定的结果？

luyuanhong · 发表于 2015-9-19 18:30

wilsony 发表于 2015-9-19 17:39
谢谢陆老师的精彩指教！
只是最后一步有点疑问，周期函数加上非周期函数为什么一定是非周期函数 ...

谢谢楼上指出！原来证明中最后一段确实不够严密。现将证明中最后一段改为：

两个在同一区间上一致连续的函数相减得到的函数，必定也在这区间上一致连续。

所以，一个一致连续函数，加上一个不一致连续函数，必定是一个不一致连续函数。

(sinx)^2 显然是在 (-∞,+∞) 上连续的周期函数，所以在 (-∞,+∞) 上一致连续。

而 sin(x^2) 已证得在 (-∞,+∞) 上不一致连续。所以，(sinx)^2+sin(x^2) 必定

在 (-∞,+∞) 上不一致连续。由此可知 (sinx)^2+sin(x^2) 不可能是周期函数。

wilsony · 发表于 2015-9-19 22:31

多谢陆老师！

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