A,B,C,D 为平面四点，已知向量 BC=AB+AD ，AC=BD ，AC⊥BD ，求 tan∠BAD

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

波斯猫猫

题：A,B,C,D 为平面四点，已知向量 BC=AB+AD ，AC=BD ，AC⊥BD ，求 tan∠BAD 。
提示（非坐标法）：设向量AD=a、AB=b。由向量 BC=AB+AD得向量BA+AC =AB+AD，即AC=a+2b。显然BD=a-b。
因AC⊥BD，故向量AC·BD=（a+2b）·（a-b）=0，
即a＾2+a·b-2b＾2=0 （1）。
又线段AC=BD，故（a+2b）＾2=（a-b）＾2，
即2 a·b+ b＾2=0 （2）。
由（1）和（2）解得2 a＾2=5 b＾2，即｜a｜=√（5/2）｜b｜。
所以，一方面a·b=(-1/2) b＾2=(-1/2) ｜b｜＾2 ，
另一方面a·b=｜a｜｜b｜cos∠BAD=√（5/2）｜b｜＾2 。
从而cos∠BAD=-1/√10，且sin∠BAD=3/√10（0≤∠BAD≤π）。
故tan∠BAD=-3。

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。